Сеть синхронизации

Сеть синхронизации — это сеть связанных динамических систем . Он состоит из сети, соединяющей генераторы, где генераторы — это узлы , излучающие сигнал с несколько регулярной (возможно, переменной) частотой, а также способные принимать сигнал. ^{[ нужна ссылка ]}

Особенно интересен фазовый переход , при котором вся сеть (или очень большой процент) осцилляторов начинает пульсировать с одной и той же частотой, что называется синхронизацией. Сеть синхронизации становится основой, через которую происходит синхронизация этих осцилляторов. Поскольку нет центрального органа, организующего узлы, это форма самоорганизующейся системы . ^{[ нужна ссылка ]}

Определение

Как правило, генераторы могут быть биологическими, электронными или физическими. Некоторыми примерами являются светлячки , сверчки , клетки сердца , лазеры , микроволновые генераторы и нейроны . Дальнейший пример можно найти во многих доменах.

В конкретной системе генераторы могут быть идентичными или неидентичными. То есть либо сеть состоит из однородных, либо разнородных узлов.

К свойствам генераторов относятся: частота , фаза и собственная частота .

Ребра сети описывают связи между генераторами. Муфты могут представлять собой физическое крепление или состоять из некоторой степени близости через среду, например, воздух или пространство.

Сети имеют несколько свойств, в том числе: количество узлов (осцилляторов), топологию сети и силу связи между осцилляторами.

Модель Курамото

Курамото разработал основную аналитическую основу для связанных динамических систем , а именно: ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]

Сеть осцилляторов с различными собственными частотами будет некогерентной, пока сила связи слаба.

Сдача в аренду $\theta _{i}(t)$ быть фазой $i$ осциллятор и $\omega _{i}$ быть его собственной частотой , случайно выбранной из распределения Коши-Лоренца следующим образом:

$g(\omega )={\frac {\gamma }{\pi [\gamma ^{2}+(\omega -\omega _{0})^{2})}}$ , имеющий ширину $\gamma$ и центральная ценность $\omega _{0}$ ,

получаем описание коллективной синхронизации:

${\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}K_{ij}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),i=1,...,N$ ,

где $N$ количество узлов (осцилляторов), а $K_{ij}$ - сила связи между узлами $i$ и $j$ .

Курамото также разработал « параметр порядка », который измеряет синхронизацию между узлами:

$r(t)={\bigg |}{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}e^{i\theta _{j}(t)}{\bigg |}$

Это приводит к асимптотическому определению $K_{c}$ , критическая сила сцепления, как $N\to \infty$ и $t\to \infty$

$r={\begin{cases}0,&K<K_{c}\\{\sqrt {1-(K_{c}/K)}},&K\geq K_{c}\end{cases}}$

с $K_{c}=2\gamma$ .

Обратите внимание, что $r=0\Rightarrow$ никакой синхронизации и $r=|e^{i\theta }|=1\Rightarrow$ идеальная синхронизация.

Вне $K_{c}$ , каждый осциллятор будет принадлежать к одной из двух групп:

группа, которая синхронизируется.
группа, которая никогда не будет синхронизироваться, поскольку их собственные частоты слишком сильно отличаются от частоты синхронизации.

Топология сети

Сети синхронизации могут иметь множество топологий. Топология может иметь большое влияние на распространение динамики. ^[6]

Некоторые основные топологии перечислены ниже:

Обычные сети : описывают сети, в которых каждый узел имеет одинаковое количество связей. Решетки , кольца и полносвязные сети — вот некоторые примеры этой топологии.
Случайные графы : эти графы, разработанные Эрдёшем и Реньи , характеризуются постоянной вероятностью существования связи между любыми двумя узлами.
Маленькие мировые сети . Эти сети являются результатом пересоединения определенного количества ребер в обычных решетчатых сетях. Полученные сети имеют гораздо меньшую среднюю длину пути, чем исходные сети.
Безмасштабные сети . Безмасштабные сети, встречающиеся повсеместно в естественных системах, характеризуются большим количеством узлов высокой степени. В частности, распределение степеней подчиняется степенному закону.

История

Связанные осцилляторы изучаются уже много лет, по крайней мере, со времен маятника Уилберфорса в 1896 году. В частности, импульсно-связанные генераторы были впервые изобретены Пескиным в 1975 году при исследовании сердечных клеток. ^[7] Уинфри разработал подход к синхронизации среднего поля в 1967 году, который получил дальнейшее развитие в модели Курамото в 1970-х и 1980-х годах для описания больших систем связанных осцилляторов. ^[8] Кроуфорд применил инструменты теории многообразий и теории бифуркаций для исследования стабильности синхронизации в своей работе в середине 1990-х годов. ^[9] Эти работы совпали с разработкой более общей теории связанных динамических систем и популяризацией Строгацем и др. в 1990 году и продолжалось до начала 2000-х годов.

См. также

Ссылки

^ Стивен Х. Строгац (март 2001 г.). «Изучение сложных сетей». Природа 410 (6825).
^ Ю. Курамото И И. Нисикава, Статистическая макродинамика больших динамических систем. Случай фазовый переход в осцилляторных сообществах, J. Statist. Физ., 49 (1987)
^ Миролло, RE, Стивен Х. Строгац (декабрь 1990 г.). «Синхронизация биологических генераторов с импульсной связью». SIAM Journal по прикладной математике 50
^ Стивен Х. Строгац (сентябрь 2000 г.). «От Курамото до Кроуфорда: изучение возникновения синхронизации в популяциях связанных осцилляторов». Физика D: Нелинейные явления 143
^ Строгац, Стивен (2003). Синхронизация: развивающаяся наука о спонтанном порядке. Гиперион. ISBN 978-0-7868-6844-5 . ОСЛК 50511177
^ Природа, Том. 393, № 6684. (4 июня 1998 г.), стр. 440-442.
^ Пескин, К.С., Математические аспекты физиологии сердца, Институт математических наук Куранта, Нью-Йоркский университет, Нью-Йорк, 1975
^ Уинфри, А.Т., Биологические ритмы и поведение популяций связанных осцилляторов, J. Theoret. Биол., 16 (1967)
^ Дж. Д. Кроуфорд, Дж. Статист. Физ. 74 (1994) 1047.

Внешние ссылки

[1] Стивен Х. Строгац (март 2001 г.). «Изучение сложных сетей». Природа 410 (6825).

[2] Ю. Курамото И И. Нисикава, Статистическая макродинамика больших динамических систем. Случай фазовый переход в осцилляторных сообществах, J. Statist. Физ., 49 (1987)

[3] Миролло, RE, Стивен Х. Строгац (декабрь 1990 г.). «Синхронизация биологических генераторов с импульсной связью». SIAM Journal по прикладной математике 50

[4] Стивен Х. Строгац (сентябрь 2000 г.). «От Курамото до Кроуфорда: изучение возникновения синхронизации в популяциях связанных осцилляторов». Физика D: Нелинейные явления 143

[5] Строгац, Стивен (2003). Синхронизация: развивающаяся наука о спонтанном порядке. Гиперион. ISBN 978-0-7868-6844-5 . ОСЛК 50511177

[6] Природа, Том. 393, № 6684. (4 июня 1998 г.), стр. 440-442.

[7] Пескин, К.С., Математические аспекты физиологии сердца, Институт математических наук Куранта, Нью-Йоркский университет, Нью-Йорк, 1975

[8] Уинфри, А.Т., Биологические ритмы и поведение популяций связанных осцилляторов, J. Theoret. Биол., 16 (1967)

[9] Дж. Д. Кроуфорд, Дж. Статист. Физ. 74 (1994) 1047.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]