Теория среднего поля

В теории физики и вероятности , теории среднего поля ( MFT ) или самосогласованной теории поля высокоразмерных случайных ( стохастических ) моделей путем изучения более простой модели, которая приближается к первоначальному . изучаются поведение Значения в конечном расчете статистики, которая может варьироваться). Такие модели рассматривают много отдельных компонентов, которые взаимодействуют друг с другом.

Основная идея MFT заключается в замене всех взаимодействий на любое одно тело средним или эффективным взаимодействием, иногда называемым молекулярным полем . Это превращает любую проблему многих тел в эффективную проблему с одним телом . Простота решения проблем MFT означает, что некоторое понимание поведения системы может быть получено при более низкой вычислительной затратах.

С тех пор MFT применяется к широкому спектру областей за пределами физики, включая статистический вывод , графические модели , нейробиологию , Искусственный интеллект , эпидемические модели , Теория очереди , Производительность компьютерной сети и теория игр , как в равновесии квантового ответа .

Происхождение

Идея впервые появилась в физике ( статистическая механика ) в работе Пьера Кюри и Пьер Вайс для описания фазовых переходов . MFT использовался в приближении Брэгга -Уильямса, моделях на решетке Bethe , теории Ландау , приближении Пьера -Вейсса, теории решений Флори -Хаггин и теории Scheutjens -Fleer .

Системы со многими (иногда бесконечными) степенями свободы, как правило, трудно решить именно или вычислить в закрытой, аналитической форме, за исключением некоторых простых случаев (например, определенные гауссовые теории случайного поля , 1D Isising Model ). Часто возникают комбинаторные проблемы, которые затрудняют вычисление функции разделения системы. MFT - это метод приближения, который часто делает исходную проблему решать и открывать для расчета, и в некоторых случаях MFT может дать очень точные приближения.

В теории поля гамильтониан может быть расширен с точки зрения величины колебаний вокруг среднего значения поля. В этом контексте MFT можно рассматривать как расширение гамильтониана «нулевого порядка» в колебаниях. Физически это означает, что система MFT не имеет колебаний, но это совпадает с идеей, что кто-то заменяет все взаимодействия на «среднее поле».

Довольно часто MFT предоставляет удобную точку запуска для изучения колебаний более высокого порядка. Например, при вычислении функции разделения изучение комбинаторики терминов взаимодействия у гамильтониана иногда может в лучшем случае давать результаты возмущения или диаграммы Фейнмана , которые исправляют приближение среднего поля.

Достоверность

В целом, размерность играет активную роль в определении того, будет ли подход среднего поля работать для какой-либо конкретной проблемы. Иногда существует критическое измерение , над которым MFT действителен, а ниже - нет.

ЭРИСТИЧЕСКИЕ, многие взаимодействия заменяются в MFT одним эффективным взаимодействием. Таким образом, если поле или частица демонстрирует много случайных взаимодействий в исходной системе, они имеют тенденцию отменяют друг друга, поэтому среднее эффективное взаимодействие и MFT будут более точными. Это верно в случаях высокой размерности, когда гамильтониан включает в себя силы на большие расстояния или когда частицы расширены (например, полимеры ). Критерий Гинцбурга является формальным выражением того, как колебания делают MFT плохим приближением, часто в зависимости от количества пространственных измерений в интересующей системе.

Формальный подход (Гамильтониан)

Формальной основой для теории среднего поля является неравенство Боголибова . В этом неравенстве говорится, что свободная энергия системы с гамильтонианским

${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}$

имеет следующую верхнюю границу:

$F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0},$

где $S_{0}$ это энтропия и $F$ и $F_{0}$ Гельмгольц свободные энергии . Среднее значение забирается на равновесный ансамбль контрольной системы с гамильтонианским ${\mathcal {H}}_{0}$Полем В особом случае, что ссылка Гамильтониан-это контрольная система, не связанная

${\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi _{i}),$

где $\xi _{i}$ являются степенью свободы отдельных компонентов нашей статистической системы (атомы, спины и т. Д.), Можно рассмотреть вопрос о заострии верхней границы, минимизируя правую сторону неравенства. Минимизирующая справочная система является тогда «лучшим» приближением к истинной системе с использованием некоррелированных степеней свободы и известна как среднее приближение поля .

Для наиболее распространенного случая, что целевой гамильтониан содержит только парные взаимодействия, т.е.

${\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j}),$

где ${\mathcal {P}}$ является набором пар, которые взаимодействуют, минимизационная процедура может быть официально выполнена. Определять $\operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})$ как обобщенная сумма наблюдаемого $f$ По степени свободы единого компонента (сумма для дискретных переменных, интегралы для непрерывных). Приближающаяся свободная энергия дается

${\begin{aligned}F_{0}&=\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\\&+kT\,\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N}),\end{aligned}}$

где $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ вероятность найти контрольную систему в состоянии, указанном в переменных $(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$Полем Эта вероятность определяется нормализованным фактором Больцмана

${\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})&={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i}),\end{aligned}}$

где $Z_{0}$ это функция разделения . Таким образом

${\begin{aligned}F_{0}&=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr} _{i,j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})\\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}$

Чтобы свести к минимуму, мы принимаем производную по отношению к вероятностям единой степени потертого. $P_{0}^{(i)}$ Использование множителя Lagrange для обеспечения правильной нормализации. Конечным результатом является набор уравнений самосогласованности

$P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})},\quad i=1,2,\ldots ,N,$

где среднее поле дается

$h_{i}^{\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}}\operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).$

Приложения

Средняя теория поля может быть применена к ряду физических систем, чтобы изучить такие явления, как фазовые переходы .

Изинская модель

Формальный вывод

Неравенство Боголибова, показанное выше, может быть использовано для поиска динамики средней полевой модели двумерной решетки . Функция магнитизации может быть рассчитана на основе результирующей приблизительной свободной энергии . Первым шагом является выбор более подлежащего приближению истинного гамильтониана. Использование неинтерзащитного или эффективного полевого гамильтониана,

$-m\sum _{i}s_{i}$,

вариационная свободная энергия

$F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}.$

Благодаря неравенству Боголибова, упрощение этой величины и расчет функции намагниченности, которая минимизирует вариационную свободную энергию, дает наилучшее приближение к фактической намагничке. Минизер есть

$m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h,$

который является средним ансамблем спина. Это упрощает

$m={\text{tanh}}(zJ\beta m)+h.$

Приравнивание эффективного поля, ощущаемого всеми вращениями к среднему спинному значению, связано с вариационным подходом к подавлению колебаний. Физическая интерпретация функции намагничения является тогда поле средних значений для отдельных спинов.

Неинтерзащитное приближение вращения

Рассмотрим модель Ising на $d$-Сятная решетка. Гамильтониан дается

$H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i},$

где $\sum _{\langle i,j\rangle }$ Указывает суммирование по паре ближайших соседей $\langle i,j\rangle$, и $s_{i},s_{j}=\pm 1$ соседние вращения вращения.

Давайте преобразуем нашу спинную переменную, введя колебания из его среднего значения $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$Полем Мы можем переписать гамильтониан как

$H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i},$

где мы определяем $\delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}$; Это колебание спина.

Если мы расширим правую сторону, мы получаем один термин, который полностью зависит от средних значений спинов и не зависит от конфигураций спина. Это тривиальный термин, который не влияет на статистические свойства системы. Следующий термин - это тот, который включает в себя продукт среднего значения спина и значения колебаний. Наконец, последний термин включает в себя продукт двух значений колебаний.

Среднее приближение поля состоит из пренебрежения этим термином колебаний второго порядка:

$H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}.$

Эти колебания улучшаются в низких размерах, что делает MFT лучшим приближением для высоких измерений.

Опять же, итоговая сумма может быть повторно рассмотрена. Кроме того, мы ожидаем, что среднее значение каждого спина не зависит от сайта, поскольку цепь Ising является переводами. Это дает

$H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big )}-h\sum _{i}s_{i}.$

Суммирование по соседним спинам может быть переписано как $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$, где $nn(i)$ означает «ближайший сосед $i$"и $1/2$ Префактор избегает двойного подсчета, поскольку каждая связь участвует в двух спинах. Упрощение приводит к окончательному выражению

$H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{eff.}}}\sum _{i}s_{i},$

где $z$ это координационный номер . На этом этапе Изинг Гамильтониан был разделен на сумму одного тела гамильтонианцев с эффективным средним полем $h^{\text{eff.}}=h+Jzm$, которая является суммой внешнего поля $h$ и среднего поля, вызванного соседними спинами. Стоит отметить, что это среднее поле напрямую зависит от количества ближайших соседей и, следовательно, от измерения системы (например, для гиперкубийной решетки измерения $d$, $z=2d$).

Заменив этот гамильтониан в функцию разделения и решение эффективной 1D -проблемы, мы получаем

$Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},$

где $N$ это количество решетки. Это закрытое и точное выражение для функции разделения системы. Мы можем получить свободную энергию системы и рассчитать критические показатели . В частности, мы можем получить намагничность $m$ как функция $h^{\text{eff.}}$.

Таким образом, у нас есть два уравнения между $m$ и $h^{\text{eff.}}$, позволяя нам определить $m$ как функция температуры. Это приводит к следующему наблюдению:

• Для температуры больше определенного значения $T_{\text{c}}$, единственное решение $m=0$Полем Система парамагнитная.
• Для $T<T_{\text{c}}$, есть два ненулевых решения: $m=\pm m_{0}$Полем Система ферромагнитная.

$T_{\text{c}}$ дается следующим отношением: $T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}$.

Это показывает, что MFT может объяснить ферромагнитный фазовый переход.

Применение в другие системы

Точно так же MFT может быть применен к другим типам гамильтонианского, как в следующих случаях:

• Изучить переход на металле - сверхпроводника . В этом случае аналогом намагниченности является сверхпроводящим зазором $\Delta$.
• Молекулярное поле жидкого кристалла , который появляется, когда Лапласиан поля директора ненулевой.
• Чтобы определить оптимальную аминокислотную упаковку боковой цепи , давая фиксированную основную цепь белка в прогнозировании структуры белка (см. Самосогласованное среднее поле (биология) ).
• Чтобы определить упругие свойства композитного материала.

Вариационная минимизация, как теория среднего поля, также может быть использована в статистическом выводе.

Расширение на средние поля в зависимости от времени

Основная статья: Динамическая средняя теория поля

В средней теории поля среднее поле, появляющее в задаче на одном месте, представляет собой независимую от времени скалярное или векторное количество. Однако это не всегда так: в варианте среднего поля, называемой динамической средней теорией поля (DMFT), среднее поле становится зависимым от времени величиной. Например, DMFT может быть применен к модели Хаббарда для изучения перехода металла-мотта-инсульта.

Смотрите также

• Динамическая средняя теория поля
• Средняя теория полевых игр