Редукция Ляпунова – Шмидта

В математике редукция Ляпунова–Шмидта или конструкция Ляпунова–Шмидта используется для исследования решений нелинейных уравнений в случае, когда теорема о неявной функции не работает. Он позволяет свести бесконечномерные уравнения в банаховых пространствах к конечномерным уравнениям. Назван в честь Александра Ляпунова и Эрхарда Шмидта .

Проблема с настройкой

Позволять

f(x,\lambda )=0\,

— заданное нелинейное уравнение, $X,\Lambda ,$ и $Y$ являются Банаховы пространства ( $\Lambda$ — пространство параметров). $f(x,\lambda )$ это $C^{p}$ -карта окрестности некоторой точки $(x_{0},\lambda _{0})\in X\times \Lambda$ к $Y$ и уравнение удовлетворяется в этой точке

f(x_{0},\lambda _{0})=0.

Для случая, когда линейный оператор $f_{x}(x,\lambda )$ обратима, теорема о неявной функции гарантирует, что существует решение $x(\lambda )$ удовлетворяющее уравнению $f(x(\lambda ),\lambda )=0$ по крайней мере локально близко к $\lambda _{0}$ .

В противоположном случае, когда линейный оператор $f_{x}(x,\lambda )$ необратима, редукцию Ляпунова–Шмидта можно применить в следующих способ.

Предположения

Предполагается, что оператор $f_{x}(x,\lambda )$ является фредгольмовым оператором .

$\ker f_{x}(x_{0},\lambda _{0})=X_{1}$ и $X_{1}$ имеет конечную размерность.

Диапазон действия этого оператора $\mathrm {ran} f_{x}(x_{0},\lambda _{0})=Y_{1}$ имеет конечную коразмерность и является замкнутым подпространством в $Y$ .

Не ограничивая общности, можно предположить, что $(x_{0},\lambda _{0})=(0,0).$

Конструкция Ляпунова – Шмидта

Давайте разделимся $Y$ в прямой продукт $Y=Y_{1}\oplus Y_{2}$ , где $\dim Y_{2}<\infty$ .

Позволять $Q$ быть оператором проектирования на $Y_{1}$ .

Рассмотрим также прямое произведение $X=X_{1}\oplus X_{2}$ .

Применение операторов $Q$ и $I-Q$ к исходному уравнению, получаем эквивалентную систему

Qf(x,\lambda )=0\,

(I-Q)f(x,\lambda )=0\,

Позволять $x_{1}\in X_{1}$ и $x_{2}\in X_{2}$ , то первое уравнение

Qf(x_{1}+x_{2},\lambda )=0\,

можно решить относительно $x_{2}$ применяя теорему о неявной функции к оператору

Qf(x_{1}+x_{2},\lambda ):\quad X_{2}\times (X_{1}\times \Lambda )\to Y_{1}\,

(теперь условия теоремы о неявной функции выполнены).

Таким образом, существует единственное решение $x_{2}(x_{1},\lambda )$ удовлетворяющий

Qf(x_{1}+x_{2}(x_{1},\lambda ),\lambda )=0.\,

Теперь заменив $x_{2}(x_{1},\lambda )$ во второе уравнение, получаем окончательное конечномерное уравнение

(I-Q)f(x_{1}+x_{2}(x_{1},\lambda ),\lambda )=0.\,

Действительно, последнее уравнение теперь конечномерно, поскольку диапазон значений $(I-Q)$ является конечномерным. Теперь это уравнение необходимо решить относительно $x_{1}$ , который является конечномерным, и параметры : $\lambda$

Приложения

Редукция Ляпунова – Шмидта использовалась в экономике, естественных науках и технике. ^{[ 1 ]} часто в сочетании с теорией бифуркаций , теорией возмущений и регуляризацией . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Сокращение LS часто используется для строгой регуляризации моделей уравнений в частных производных в химической технологии, в результате чего создаются модели, которые легче моделировать численно , но которые при этом сохраняют все параметры исходной модели. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Сидоров, Николай (2011). Методы Ляпунова-Шмидта в нелинейном анализе и приложениях . Спрингер. ISBN 9789048161508 . OCLC 751509629 .
^ Голубицкий, Мартин; Шеффер, Дэвид Г. (1985), «Бифуркация Хопфа», Applied Mathematical Sciences , Springer New York, стр. 337–396, doi : 10.1007/978-1-4612-5034-0_8 , ISBN 9781461295334
^ Jump up to: ^а ^б Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (январь 2009 г.). «Анализ линейной устойчивости моделей высокой и низкой размерности для описания формирования структуры, ограниченной смешиванием, в гомогенных автокаталитических реакторах». Химико-технологический журнал . 145 (3): 399–411. doi : 10.1016/j.cej.2008.08.025 . ISSN 1385-8947 .
^ Балакотая, Вемури (март 2004 г.). «Гиперболические усредненные модели для описания дисперсионных эффектов в хроматографах и реакторах». Корейский журнал химической инженерии . 21 (2): 318–328. дои : 10.1007/bf02705415 . ISSN 0256-1115 .
^ Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (19 января 2008 г.). «Динамическое моделирование формирования структуры, ограниченной смешиванием, в гомогенных автокаталитических реакциях». Моделирование химических продуктов и процессов . 3 (2). дои : 10.2202/1934-2659.1135 . ISSN 1934-2659 .

Библиография

Луи Ниренберг , Темы нелинейного функционального анализа , Нью-Йоркский университет. Конспект лекций, 1974.
Александр Ляпунов , О фигурах равновесия, мало отличающихся от эллипсоидов однородной жидкой массы, наделенной вращательным движением, Зап. Акад. Наук СПб. (1906), 1–225.
Александр Ляпунов , Общая задача устойчивости движения, Анн. Фак. наук. Тулуза 2 (1907), 203–474.
Эрхард Шмидт , К теории линейных и нелинейных интегральных уравнений, 3 части, Math. 65 (1908), 370–399.

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Сидоров, Николай (2011). Методы Ляпунова-Шмидта в нелинейном анализе и приложениях . Спрингер. ISBN 9789048161508 . OCLC 751509629 .

[2] Голубицкий, Мартин; Шеффер, Дэвид Г. (1985), «Бифуркация Хопфа», Applied Mathematical Sciences , Springer New York, стр. 337–396, doi : 10.1007/978-1-4612-5034-0_8 , ISBN 9781461295334

[Gupta_399–411-3] Jump up to: ^а ^б Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (январь 2009 г.). «Анализ линейной устойчивости моделей высокой и низкой размерности для описания формирования структуры, ограниченной смешиванием, в гомогенных автокаталитических реакторах». Химико-технологический журнал . 145 (3): 399–411. doi : 10.1016/j.cej.2008.08.025 . ISSN 1385-8947 .

[4] Балакотая, Вемури (март 2004 г.). «Гиперболические усредненные модели для описания дисперсионных эффектов в хроматографах и реакторах». Корейский журнал химической инженерии . 21 (2): 318–328. дои : 10.1007/bf02705415 . ISSN 0256-1115 .

[5] Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (19 января 2008 г.). «Динамическое моделирование формирования структуры, ограниченной смешиванием, в гомогенных автокаталитических реакциях». Моделирование химических продуктов и процессов . 3 (2). дои : 10.2202/1934-2659.1135 . ISSN 1934-2659 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]