Класпер (математика)

В математической области низкоразмерной топологии класпер — это поверхность (с дополнительной структурой) в трехмерном многообразии , на которой операцию можно выполнить .

Мотивация

Начиная с полинома Джонса , бесконечно много новых инвариантов узлов , зацеплений и 3-многообразий в течение 1980-х годов было найдено . Изучение этих новых «квантовых» инвариантов быстро расширилось до субдисциплины низкоразмерной топологии, называемой квантовой топологией. Квантовый инвариант обычно состоит из двух ингредиентов: формальной суммы диаграмм Якоби (которые несут структуру алгебры Ли) и представления ленточной алгебры Хопфа, такого как квантовая группа . Априори неясно, почему любой из этих ингредиентов должен иметь какое-либо отношение к низкоразмерной топологии. Таким образом, одной из основных проблем квантовой топологии была топологическая интерпретация квантовых инвариантов.

Теория класперов дает такую интерпретацию. Класпер, как и каркасная ссылка , представляет собой встроенный топологический объект в 3-многообразие, над которым можно выполнять операции . Фактически, исчисление класперов можно рассматривать как вариант исчисления Кирби , в котором разрешены только определенные типы структурных ссылок. Класперы также можно интерпретировать алгебраически, как исчисление для плетеной строгой моноидальной категории Cob ориентированных диаграммное связных поверхностей со связной границей. Кроме того, что наиболее важно, класперы можно грубо рассматривать как топологическую реализацию диаграмм Якоби, которые являются чисто комбинаторными объектами. Это объясняет алгебры Ли структуру градуированного векторного пространства диаграмм Якоби в терминах алгебры Хопфа структуры Cob .

Определение

Класпер $G=\mathbf {A} \cup \mathbf {B}$ — компактная поверхность, вложенная во внутреннюю часть трехмерного многообразия $M$ оснащено разложением на две подповерхности $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ , компоненты связности которого называются составляющими и ребрами $G$ соответственно. Каждый край $G$ — это полоса, соединяющая две составляющие друг с другом или соединяющая одну составляющую с самой собой. Существует четыре типа составляющих: листья, диски-листья, узлы и коробки.

Класперную операцию проще всего определить (после исключения узлов, блоков и дисковых листьев, как описано ниже) как операцию вдоль звена, связанного с класпером, путем замены каждого листа его сердцевиной и замены каждого ребра правой связью Хопфа.

Класперское исчисление

Ниже приведены графические условные обозначения, используемые при рисовании застежек (их можно рассматривать как определение блоков, узлов и дисковых листьев):

Замена узлов, дисков-листьев и коробочек на листья.

Условные обозначения кламмеров

Хабиро нашел 12 ходов, связывающих кламмеры, по которым хирургическое вмешательство дает одинаковый результат. Эти ходы составляют основу класперного исчисления и придают теории значительную силу как инструменту доказательства теорем.

C _n -эквивалентность

Два узла, зацепки или 3-многообразия называются $C_{n}$ -эквивалентны, если они связаны соотношением $C_{n}$ -движения, которые представляют собой локальные движения, вызванные хирургическими вмешательствами на простых древесных кламмерах без ящиков или дисковых листьев и с $n$ листья.

Для ссылки $L\subset M$ , а $C_{1}$ -move – это изменение пересечения. А $C_{2}$ -ход — это ход Дельта . В большинстве случаев применения кламмеров используются только $C_{n}$ -двигается.

Основные результаты

На два узла $K$ и $K^{\prime }$ и неотрицательное целое число $k$ , следующие условия эквивалентны:

$K$ и $K^{\prime }$ не отличаются никаким инвариантом типа $k$ .
$K$ и $K^{\prime }$ являются $C_{k}$ -эквивалент.

Соответствующее утверждение неверно для ссылок.

Дальнейшее чтение

С. Гаруфалидис, М. Гусаров, М. Поляк, Исчисление клевера и инварианты конечного типа трехмерных многообразий , Геом. и Тополь., вып. 5 (2001), 75–108.
М. Н. Гусаров. Вариации завязанных графов. Геометрическая техника n -эквивалентности (рус.) Алгебра и анализ 12 (4) (2000), 79–125; перевод в СПб Матем. Дж. 12 (4) (2001) 569–604.
М. Н. Гусаров, Инварианты конечного типа и n -эквивалентность 3-многообразий Ч. Р. Акад. наук. Париж сер. Я Матем. 329 (6) (1999), 517–522.
К. Хабиро, Класперс и модуль Васильева , докторская диссертация, Токийский университет (1997).
К. Хабиро, Класперы и инварианты конечного типа зацеплений , Геом. и Тополь., вып. 4 (2000), 1–83.
С. Матвеев, Обобщенные операции трехмерных многообразий и представления сфер гомологии , Матем. Заметки, 42 (1987) нет. 2, 268–278.