Колоколообразная функция

Функция Гаусса является архетипическим примером колоколообразной функции.

или Колоколообразная функция просто колоколообразная кривая — это математическая функция, имеющая характерную кривую в форме колокола . Эти функции обычно являются непрерывными или гладкими, асимптотически приближаются к нулю при больших отрицательных/положительных x и имеют единственный унимодальный максимум при малых x. Следовательно, интеграл колоколообразной функции обычно является сигмовидной функцией . Колоколообразные функции также обычно симметричны.

Многие распространенные функции распределения вероятностей представляют собой колоколообразные кривые.

Некоторые колоколообразные функции, такие как функция Гаусса и распределение вероятностей распределения Коши , можно использовать для построения последовательностей функций с уменьшающейся дисперсией , которые приближаются к дельта-распределению Дирака . Действительно, дельту Дирака можно грубо представить как колоколообразную кривую с дисперсией, стремящейся к нулю.

Вот некоторые примеры:

• Функция Гаусса , функция плотности вероятности нормального распределения . Это типичная колоколообразная функция, которая часто встречается в природе как следствие центральной предельной теоремы .

$f(x)=ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}$

• Fuzzy Logic Колоколообразная функция обобщенной принадлежности

$f(x)={\frac {1}{1+\left|{\frac {x-c}{a}}\right|^{2b}}}$

• Гиперболический секанс . Это также производная функции Гудермана .

$f(x)=\operatorname {sech} (x)={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$

• Ведьма Аньези , функция плотности вероятности распределения Коши . Это также масштабированная версия производной функции арктангенса .

$f(x)={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}$

• Функция удара

$\varphi _{b}(x)={\begin{cases}\exp {\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}&|x|<b,\\0&|x|\geq b.\end{cases}}$

• Тип приподнятого косинуса, такой как распределение приподнятого косинуса или фильтр приподнятого косинуса.

$f(x;\mu ,s)={\begin{cases}{\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\pi \right)\right]&{\text{for }}\mu -s\leq x\leq \mu +s,\\[3pt]0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

• Большинство оконных функций аналогичны окну Кайзера.

• Производная логистической функции . Это масштабированная версия производной функции гиперболического тангенса .

$f(x)={\frac {e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}}$

• Некоторые алгебраические функции . Например

$f(x)={\frac {1}{(1+x^{2})^{3/2}}}$

Галерея

• 
  сам( x ) (синим цветом)
• 
  Ведьма из Аньези
• 
  φ _b для b = 1
• 
  Приподнятый косинус PDF
• 
  Окно Кайзера