Алгебраическая функция

В математике алгебраическая функция — это функция , которую можно определить как корень неприводимого полиномиального уравнения . Алгебраические функции часто представляют собой алгебраические выражения , использующие конечное число членов и включающие только алгебраические операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в дробную степень. Примеры таких функций:

$f(x)=1/x$
$f(x)={\sqrt {x}}$
$f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}$

Однако некоторые алгебраические функции не могут быть выражены такими конечными выражениями (это теорема Абеля–Руффини ). Так обстоит дело, например, с радикалом Bring , который является функцией , неявно определяемой формулой

f(x)^{5}+f(x)+x=0

.

Более точно, алгебраическая функция степени $n$ от одной переменной $x$ — это функция $y=f(x),$ непрерывный и в своей области определения удовлетворяющий полиномиальному уравнению положительной степени

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0

где коэффициенты $a i (x)$ являются полиномиальными функциями с $x$ целыми коэффициентами. Можно показать, что тот же класс функций получается, если принять алгебраические числа в качестве коэффициентов $a i (x)$ . Если в коэффициентах встречаются трансцендентные числа , то функция, вообще говоря, не алгебраична, но алгебраична над полем, порожденным этими коэффициентами.

Значение алгебраической функции в рациональном числе и, в более общем смысле, в алгебраическом числе всегда является алгебраическим числом.Иногда коэффициенты $a_{i}(x)$ рассматриваются полиномиальные над кольцом $R$ , и тогда говорят о «функциях, алгебраических над $R$ ».

Функция, которая не является алгебраической, называется трансцендентной функцией , как, например, в случае $\exp x,\tan x,\ln x,\Gamma (x)$ . Композиция трансцендентных функций может дать алгебраическую функцию: $f(x)=\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}$ .

Поскольку полиномиальное уравнение степени n имеет до n корней (и ровно n корней в алгебраически замкнутом поле , таком как комплексные числа ), полиномиальное уравнение не определяет неявно одну функцию, но до n функции, иногда также называемые ветвями . Рассмотрим, например, уравнение единичной окружности : $y^{2}+x^{2}=1.\,$ Это определяет y , за исключением только общего знака; соответственно, он имеет две ветви: $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,$

Алгебраическая функция от m переменных аналогично определяется как функция $y=f(x_{1},\dots ,x_{m})$ которое решает полиномиальное уравнение от m + 1 переменных:

p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.

Обычно предполагается, что p должен быть неприводимым многочленом . Существование алгебраической функции тогда гарантируется теоремой о неявной функции .

Формально алгебраическая функция от m переменных над полем K является элементом алгебраического замыкания поля рациональных функций K ( x ₁ , ..., x _m ).

Алгебраические функции с одной переменной

Введение и обзор

Неформальное определение алгебраической функции дает ряд подсказок об ее свойствах. Чтобы получить интуитивное понимание, может быть полезно рассматривать алгебраические функции как функции, которые могут быть образованы с помощью обычных алгебраических операций : сложения , умножения , деления и извлечения n- корня й степени . Это что-то вроде чрезмерного упрощения; из-за фундаментальной теоремы теории Галуа алгебраические функции не обязательно выражаются через радикалы.

Прежде всего заметим, что любая полиномиальная функция $y=p(x)$ является алгебраической функцией, поскольку это просто решение y уравнения

y-p(x)=0.\,

В более общем смысле любая рациональная функция $y={\frac {p(x)}{q(x)}}$ является алгебраическим, являясь решением

q(x)y-p(x)=0.

Более того, корень n-й степени из любого многочлена ${\textstyle y={\sqrt[{n}]{p(x)}}}$ — алгебраическая функция, решающая уравнение

y^{n}-p(x)=0.

Удивительно, но обратная функция алгебраической функции является алгебраической функцией. Предположим, что y является решением

a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0,

для каждого значения x , то x также является решением этого уравнения для каждого значения y . Действительно, поменяв местами роли x и y и собрав члены,

b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.

Запись x как функции от y дает обратную функцию, также алгебраическую функцию.

Однако не каждая функция имеет обратную. Например, у = х ² не проходит тест на горизонтальную линию : он не соответствует однозначности . Обратная — это алгебраическая «функция». $x=\pm {\sqrt {y}}$ . Другой способ понять это состоит в том, что набор ветвей полиномиального уравнения, определяющего нашу алгебраическую функцию, представляет собой график алгебраической кривой .

Роль комплексных чисел

С алгебраической точки зрения комплексные числа вполне естественно входят в изучение алгебраических функций. Прежде всего, согласно основной теореме алгебры , комплексные числа являются алгебраически замкнутым полем . Следовательно, любое полиномиальное отношение p ( y , x ) = 0 гарантированно имеет по крайней мере одно решение (и вообще количество решений, не превышающих степень p в y ) для y в каждой точке x , при условии, что мы позволяем y принять сложные, а также реальные ценности. Таким образом, проблемы, связанные с областью определения алгебраической функции, можно безопасно свести к минимуму.

График трех ветвей алгебраической функции y , где y ³ − xy + 1 = 0, в области 3/2 ^2/3 < х < 50.

Более того, даже если кто-то в конечном итоге интересуется реальными алгебраическими функциями, у него может не быть способа выразить функцию в терминах сложения, умножения, деления и извлечения корней n-й степени , не прибегая к комплексным числам (см. casus reducibilis ). Например, рассмотрим алгебраическую функцию, определяемую уравнением

y^{3}-xy+1=0.\,

Используя кубическую формулу , получаем

y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.

Для $x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},$ квадратный корень действителен, и кубический корень, таким образом, четко определен, обеспечивая уникальный действительный корень. С другой стороны, для $x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},$ квадратный корень недействителен, и в качестве квадратного корня нужно выбрать либо недействительный квадратный корень. Таким образом, кубический корень необходимо выбрать среди трех недействительных чисел. Если для двух членов формулы выбраны одинаковые варианты, три варианта кубического корня образуют три ветви, показанные на сопроводительном изображении.

Можно доказать, что невозможно выразить эту функцию через корни n-й степени , используя только действительные числа, даже если результирующая функция имеет действительное значение в области показанного графика.

На более важном теоретическом уровне использование комплексных чисел позволяет использовать мощные методы комплексного анализа для обсуждения алгебраических функций. В частности, принцип аргумента можно использовать, чтобы показать, что любая алгебраическая функция на самом деле является аналитической функцией , по крайней мере, в многозначном смысле.

Формально, пусть p ( x , y ) будет комплексным полиномом от комплексных переменных x и y . Предположим, что x0 _∈ p C таков, что многочлен ( x0 , _. y ) от y имеет n различных нулей Покажем, что алгебраическая функция аналитична окрестности точки x0 _в . Выберем систему из n непересекающихся дисков Δi _, содержащую каждый из этих нулей. Тогда по принципу аргумента

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.

По непрерывности это также справедливо для всех x окрестности x0 _в . В частности, p ( x , y ) имеет только один корень в Δi _, заданный теоремой о вычетах :

f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy

что является аналитической функцией.

Монодромия

Обратите внимание, что приведенное выше доказательство аналитичности вывело выражение для системы из n различных функциональных элементов f _i ( x ), при условии, что x не является критической точкой p ( x , y ) . Критическая точка — это точка, в которой количество различных нулей меньше степени p , и это происходит только тогда, когда член наивысшей степени p или дискриминант исчезают. лишь конечное число Следовательно, таких точек c ₁ , ..., c _m .

Тщательный анализ свойств элементов функции f _i вблизи критических точек позволяет показать, что монодромии разветвлено накрытие по критическим точкам (и, возможно, по точке на бесконечности ). Таким образом, голоморфное расширение f _i имеет в худшем случае алгебраические полюса и обычные алгебраические разветвления над критическими точками.

Заметим, что вдали от критических точек имеем

p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x))

поскольку f _i по определению являются различными нулями p . Группа монодромии действует путем перестановки факторов и, таким образом, формирует монодромии группы Галуа p представление . ( Действие монодромии на универсальное накрывающее пространство — родственное, но другое понятие в теории римановых поверхностей .)

История

Идеи, связанные с алгебраическими функциями, восходят, по крайней мере, к Рене Декарту . Первое обсуждение алгебраических функций, по-видимому, состоялось в книге Эдварда Уоринга 1794 года «Очерк принципов человеческого познания» , в которой он пишет:

пусть величина, обозначающая ординату, является алгебраической функцией от абсциссы х , обычными методами деления и извлечения корней сводим ее в бесконечный ряд, возрастающий или нисходящий по размерностям х , а затем находим интеграл от каждой результирующих условий.

См. также

Ссылки

Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ . МакГроу Хилл.
ван дер Варден, БЛ (1931). Современная алгебра, том II . Спрингер.

Внешние ссылки

Определение «Алгебраической функции» в математической энциклопедии.
Вайсштейн, Эрик В. «Алгебраическая функция» . Математический мир .
Алгебраическая функция в PlanetMath .
Определение «алгебраической функции». Архивировано 26 октября 2020 г. на Wayback Machine в Дэвида Дж. Дарлинга. Интернет-энциклопедии науки