Метрическая решетка

Пример функции оценки на решетке куба, которая делает ее метрической решеткой.

В математическом исследовании порядка метрическая решётка L — это решётка , которая допускает положительную оценку : функция v ∈ L → ℝ , удовлетворяющая для любых a , b ∈ L , $$v(a)+v(b)=v(a\wedge b)+v(a\vee b)$$ и $${a>b}\Rightarrow v(a)>v(b){\text{.}}$$

Связь с другими понятиями

Решетка, содержащая N5 (изображено), не может быть метрической, поскольку из v ( d )+ v ( c ) = v ( e ) + v ( a ) = v ( b ) + v ( c ) влечет v ( d ) = v ( б ), что противоречит v ( d ) < v ( b ).

— Булева алгебра это метрическая решетка; любая конечно-аддитивная мера на своей двойственной по Стоуну мере дает оценку.

Всякая метрическая решетка является модулярной решеткой , см. нижнее изображение. Это также метрическое пространство с функцией расстояния, определяемой выражением $$d(x,y)=v(x\vee y)-v(x\wedge y){\text{.}}$$ При таком показателе соединение и встреча представляют собой равномерно непрерывные сокращения . и, таким образом, распространяется на метрическое пополнение (метрическое пространство) . Эта решетка обычно не является пополнением Дедекинда-МакНила , но она условно полна .

Приложения

При изучении нечеткой логики и интервальной арифметики пространство равномерных распределений представляет собой метрическую решетку. Метрические решетки также являются ключом к конструкции фон Неймана непрерывной проективной геометрии . Функция удовлетворяет одномерному волновому уравнению тогда и только тогда, когда она является оценкой решетки координат пространства-времени с естественным частичным порядком. Подобный результат должен быть применим к любому уравнению в частных производных, решаемому методом характеристик , но ключевые особенности теории отсутствуют.