Общая вариация уменьшается

В численных методах уменьшение полной вариации (TVD) является свойством некоторых схем дискретизации , используемых для решения гиперболических уравнений в частных производных . Наиболее заметное применение этого метода находится в вычислительной гидродинамике . Понятие TVD было введено Ами Хартен .

Уравнение модели

В системах, описываемых уравнениями в частных производных , таких как следующее гиперболическое уравнение переноса ,

${\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,$

общая вариация (TV) определяется выражением

$TV(u(\cdot ,t))=\int \left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|\mathrm {d} x,$

а полная вариация для дискретного случая равна

$TV(u^{n})=TV(u(\cdot ,t^{n}))=\sum _{j}\left|u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n}\right|.$

где $u_{j}^{n}=u(x_{j},t^{n})$.

Численный метод называется методом уменьшения общей вариации (TVD), если:

$TV\left(u^{n+1}\right)\leq TV\left(u^{n}\right).$

Характеристики

Численная схема называется сохраняющей монотонность, если соблюдаются следующие свойства:

• Если $u^{n}$ монотонно возрастает (или убывает) в пространстве, то и $u^{n+1}$.

Хартен 1983 доказал следующие свойства числовой схемы:

• — Монотонная схема TVD, а
• Схема TVD сохраняет монотонность .

Применение в CFD

В вычислительной гидродинамике схема TVD используется для получения более точных прогнозов ударов без каких-либо вводящих в заблуждение колебаний при изменении переменной поля « $\phi$» является прерывистым. Чтобы зафиксировать вариации на мелкой сетке ( $\Delta x$ очень малы), и вычисления становятся тяжелыми и, следовательно, неэкономичными. Использование грубых сеток с центральной разностной схемой , противоветренной схемой , гибридной разностной схемой и степенной схемой дает ложные прогнозы потрясений. Схема TVD позволяет более точно прогнозировать скачки на грубой сетке, экономя время вычислений, а поскольку схема сохраняет монотонность, в решении отсутствуют паразитные колебания.

Дискретизация

Рассмотрим стационарное одномерное уравнение диффузии конвекции:

$\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,=\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi )+S_{\phi }\;$,

где $\rho$ плотность, $\mathbf {u}$ вектор скорости, $\phi$ перевозится ли имущество, $\Gamma$ - коэффициент диффузии и $S_{\phi }$ является исходным термином, ответственным за создание свойства $\phi$.

Сравнивая потоки этого свойства с контрольным объемом, мы получаем:

$\int _{A}\mathbf {n} \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,\mathrm {d} A=\int _{A}\mathbf {n} \cdot (\Gamma \nabla \phi )\,\mathrm {d} A+\int _{CV}S_{\phi }\,\mathrm {d} V$ $\;$

Здесь $\mathbf {n}$ – нормаль к поверхности контрольного объема.

Игнорируя исходный член, уравнение сводится к следующему:

$(\rho \mathbf {u} \phi A)_{r}-(\rho \mathbf {u} \phi A)_{l}=\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{r}-\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{l}$

Изображение, показывающее контрольный объем со скоростями на гранях, узлах и расстоянии между ними, где «P» — узел в центре.

Предполагая

${\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\delta \phi }{\delta x}}$ и $A_{r}=A_{l},$

Уравнение сводится к

$(\rho \mathbf {u} \phi )_{r}-(\rho \mathbf {u} \phi )_{l}\,=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{r}-\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{l}.$

Сказать,

$F_{r}=(\rho \mathbf {u} )_{r};\qquad F_{l}=(\rho \mathbf {u} )_{l};$

$D_{l}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{l};\qquad D_{r}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{r};$

Из рисунка:

$\delta \phi _{r}=\phi _{R}-\phi _{P};\qquad \delta x_{r}=x_{PR};$

$\delta \phi _{l}=\phi _{P}-\phi _{L};\qquad \delta x_{l}=x_{LP};$

Уравнение становится: $$F_{r}\phi _{r}-F_{l}\phi _{l}=D_{r}(\phi _{R}-\phi _{P})-D_{l}(\phi _{P}-\phi _{L});$$ Уравнение непрерывности также должно удовлетворяться в одной из эквивалентных форм для этой задачи:

$(\rho \mathbf {u} )_{r}-(\rho \mathbf {u} )_{l}\,=0\ \ \Longleftrightarrow \ \ F_{r}-F_{l}=0\ \ \Longleftrightarrow \ F_{r}=F_{l}=F.$

Предполагая, что коэффициент диффузии является однородным свойством и имеет равный шаг сетки, мы можем сказать:

$\Gamma _{l}=\Gamma _{r};\qquad \delta x_{LP}=\delta x_{PR}=\delta x,$

мы получаем $$D_{l}=D_{r}=D.$$Уравнение далее сводится к $$(\phi _{r}-\phi _{l})\cdot F=D\cdot (\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L}).$$Приведенное выше уравнение можно записать как $$(\phi _{r}-\phi _{l})\cdot P=(\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L})$$где $P$ это число Пекле

$P={\frac {F}{D}}={\frac {\rho \mathbf {u} \delta x}{\Gamma }}.$

схема ТВД

Схема уменьшения общей вариации делает предположение о значениях $\phi _{r}$ и $\phi _{l}$ подставить в дискретное уравнение следующим образом:

$\phi _{r}\cdot P={\frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{r}^{+}\phi _{R}+(1-f_{r}^{+})\phi _{L}]+{\frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{r}^{-}\phi _{P}+(1-f_{r}^{-})\phi _{RR}]$

$\phi _{l}\cdot P={\frac {1}{2}}(P+|P|)[f_{l}^{+}\phi _{P}+(1-f_{l}^{+})\phi _{LL}]+{\frac {1}{2}}(P-|P|)[f_{l}^{-}\phi _{L}+(1-f_{l}^{-})\phi _{R}]$

Где $P$ - число Пекле и $f$ – весовая функция, из которой следует определить,

$f=f\left({\frac {\phi _{U}-\phi _{UU}}{\phi _{D}-\phi _{UU}}}\right)$

где $U$ относится к восходящему течению, $UU$ относится к верхнему течению $U$ и $D$ относится к нисходящему течению.

Обратите внимание, что $f^{+}$ — весовая функция, когда поток имеет положительное направление (т. е. слева направо) и $f^{-}$ – весовая функция, когда поток направлен в отрицательном направлении справа налево. Так,

${\begin{aligned}&f_{r}^{+}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{L}}{\phi _{R}-\phi _{L}}}\right),\\[10pt]&f_{r}^{-}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{R}-\phi _{RR}}{\phi _{P}-\phi _{RR}}}\right),\\[10pt]&f_{l}^{+}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{L}-\phi _{LL}}{\phi _{P}-\phi _{LL}}}\right),{\text{ and}}\\[10pt]&f_{l}^{-}{\text{ is a function of }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{R}}{\phi _{L}-\phi _{R}}}\right).\end{aligned}}$

Если поток направлен положительно, то число Пекле $P$ положителен, а член $(P-|P|)=0$, поэтому функция $f^{-}$ не будет играть никакой роли в предположении о $\phi _{r}$ и $\phi _{l}$. Аналогично, когда поток имеет отрицательное направление, $P$ является отрицательным, и член $(P+|P|)=0$, поэтому функция $f^{+}$ не будет играть никакой роли в предположении о $\phi _{r}$ и $\phi _{r}$.

Поэтому он учитывает значения свойств в зависимости от направления потока и с помощью весовых функций пытается добиться монотонности решения, тем самым получая результаты без ложных потрясений.

Ограничения

Монотонные схемы привлекательны для решения инженерных и научных задач, поскольку не приводят к нефизическим решениям. Теорема Годунова доказывает, что линейные схемы, сохраняющие монотонность, имеют точность не более первого порядка. Линейные схемы более высокого порядка, хотя и более точны для гладких решений, не являются TVD и имеют тенденцию вносить паразитные колебания (покачивания) там, где возникают разрывы или толчки. Чтобы преодолеть эти недостатки, высоким разрешением методы с различные нелинейные были разработаны , часто с использованием ограничителей потока/нарастания .

См. также

• Ограничители потока
• Godunov's theorem
• Схема высокого разрешения
• Схема MUSCL
• Sergei K. Godunov
• Общая вариация

Дальнейшее чтение

• Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков , Том 2, Wiley.
• Лэйни, CB (1998), Вычислительная газовая динамика , Издательство Кембриджского университета.
• Торо, Э.Ф. (1999), Решатели Римана и численные методы гидродинамики , Springer-Verlag.
• Таннехилл Дж.К., Андерсон Д.А. и Плетчер Р.Х. (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача , 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.
• Весселинг, П. (2001), Принципы вычислительной гидродинамики , Springer-Verlag.
• Анил В. Дейт. Введение в вычислительную гидродинамику , Издательство Кембриджского университета.