Последовательность координации

В кристаллографии и теории бесконечных вершинно-транзитивных графов координационная последовательность вершины $v$ — это целочисленная последовательность , которая подсчитывает, сколько вершин находится на каждом возможном расстоянии от $v$. То есть это последовательность $$n_{0},n_{1},n_{2},\dots$$где каждый $n_{i}$ это количество вершин, которые $i$ в нескольких шагах от $v$. Если граф вершинно-транзитивен, то последовательность является инвариантом графа , не зависящим от конкретного выбора $v$. Координационные последовательности также могут быть определены для упаковок сфер , используя либо граф контакта сфер, либо триангуляцию Делоне их центров, но эти два варианта могут привести к различным последовательностям.

Квадратная сетка, заштрихованная по расстоянию от центральной синей точки. Точное количество точек сетки на расстоянии $i>0$ является $4i$, поэтому координационная последовательность сетки представляет собой последовательность, кратную четырем, измененную так, чтобы она начиналась с единицы вместо нуля.

Например, в квадратной сетке для каждого положительного целого числа $i$, есть $4i$ точки сетки, которые $i$ шагах от начала координат. Следовательно, координационной последовательностью квадратной сетки является последовательность $$1,4,8,12,16,20,\dots \ .$$в котором, за исключением начального значения, равного единице, каждое число кратно четырем.

Концепция была предложена Георгом О. Бруннером и Фрицем Лавесом , а позже развита Майклом О'Кифом . Координационные последовательности многих низкоразмерных решеток и однородные замощения известны.

Известно, что координационные последовательности периодических структур квазиполиномиальны .