Уравнение Лейна – Эмдена

Решения уравнения Лейна–Эмдена для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

В астрофизике уравнение Лейна-Эмдена представляет собой безразмерную форму уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей сферически-симметричной политропной жидкости. Он назван в честь астрофизиков Джонатана Гомера Лейна и Роберта Эмдена . ^[1] Уравнение гласит

${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,$

где $\xi$ представляет собой безразмерный радиус и $\theta$ связана с плотностью и, следовательно, с давлением соотношением $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}$ для центральной плотности $\rho _{c}$ . Индекс $n$ - индекс политропы, который появляется в политропном уравнении состояния, $P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,$ где $P$ и $\rho$ – давление и плотность соответственно, $K$ является константой пропорциональности. Стандартные граничные условия: $\theta (0)=1$ и $\theta '(0)=0$ . Таким образом, решения описывают зависимость давления и плотности от радиуса и известны как политропы индекса $n$ . Если вместо политропной жидкости использовать изотермическую жидкость (индекс политропы стремится к бесконечности), то получается уравнение Эмдена-Чандрасекара .

Приложения

Физически гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, тогда как уравнение Пуассона связывает потенциал с плотностью. Таким образом, если у нас есть дополнительное уравнение, которое определяет, как давление и плотность изменяются друг относительно друга, мы можем найти решение. Конкретный выбор политропного газа, как указано выше, делает математическую постановку проблемы особенно краткой и приводит к уравнению Лейна – Эмдена. Это уравнение является полезным приближением для самогравитирующих плазменных сфер, таких как звезды, но обычно это довольно ограничивающее предположение.

Вывод

Из гидростатического равновесия

Рассмотрим самогравитирующую сферически-симметричную жидкость, находящуюся в гидростатическом равновесии . Масса сохраняется и, таким образом, описывается уравнением неразрывности. ${\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho$ где $\rho$ является функцией $r$ . Уравнение гидростатического равновесия имеет вид ${\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}$ где $m$ также является функцией $r$ . Повторное дифференцирование дает ${\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}$ где уравнение неразрывности использовалось для замены градиента массы. Умножив обе части на $r^{2}$ и собирать производные $P$ слева можно написать $r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho$

Разделив обе части на $r^{2}$ дает в некотором смысле размерную форму искомого уравнения. Если дополнительно заменить политропное уравнение состояния на $P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}$ и $\rho =\rho _{c}\theta ^{n}$ , у нас есть ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}$

Собираем константы и подставляем $r=\alpha \xi$ , где $\alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,$ у нас есть уравнение Лейна – Эмдена, ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0$

Из уравнения Пуассона

Аналогично, можно начать с уравнения Пуассона : $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho$

Градиент потенциала можно заменить, используя гидростатическое равновесие, через ${\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}$ что снова дает размерную форму уравнения Лейна – Эмдена.

Точные решения

При заданном значении индекса политропы $n$ , обозначим решение уравнения Лейна–Эмдена как $\theta _{n}(\xi )$ . В общем, уравнение Лейна – Эмдена необходимо решить численно, чтобы найти $\theta _{n}$ . Существуют точные аналитические решения для определенных значений $n$ , в частности: $n=0,1,5$ . Для $n$ между 0 и 5 решения непрерывны и конечны по размеру, а радиус звезды определяется выражением $R=\alpha \xi _{1}$ , где $\theta _{n}(\xi _{1})=0$ .

Для данного решения $\theta _{n}$ , профиль плотности определяется выражением $\rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}.$

Общая масса $M$ модели звезды можно найти интегрированием плотности по радиусу от 0 до $\xi _{1}$ .

Давление можно найти с помощью политропного уравнения состояния: $P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}$ , то есть $P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}$

Наконец, если газ идеален , уравнение состояния имеет вид $P=k_{B}\rho T/\mu$ , где $k_{B}$ – постоянная Больцмана и $\mu$ средняя молекулярная масса. Тогда температурный профиль определяется выражением $T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}$

В сферически-симметричных случаях уравнение Лейна–Эмдена интегрируемо только для трех значений показателя политропы $n$ .

Для n = 0

Если $n=0$ , уравнение принимает вид ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0$

Переорганизация и интеграция однажды дают $\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}$

Разделив обе части на $\xi ^{2}$ и повторное интегрирование дает $\theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}$

Граничные условия $\theta (0)=1$ и $\theta '(0)=0$ подразумевают, что константы интегрирования равны $C_{0}=1$ и $C_{1}=0$ . Поэтому, $\theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}$

Для n = 1

Когда $n=1$ , уравнение можно разложить в виде ${\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0$

Предполагается решение степенного ряда: $\theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}$

Это приводит к рекурсивной зависимости для коэффициентов расширения: $a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}$

Это соотношение можно решить, приведя к общему решению: $\theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}$

Граничное условие для физического политропа требует, чтобы $\theta (\xi )\rightarrow 1$ как $\xi \rightarrow 0$ .Это требует, чтобы $a_{0}=1,a_{1}=0$ , что приводит к решению: $\theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}$

Для n = 2

Это точное решение было найдено случайно при поиске нулевых значений соответствующего уравнения TOV . ^[2]

Мы рассматриваем разложение в ряд вокруг $\theta =0$ $\theta =\sum \limits _{m=0}^{\infty }a_{m}\xi ^{m}$ с начальными значениями $\theta |_{\xi =0}=\theta _{0}$ и $\left.{\frac {d\theta }{d\xi }}\right|_{\xi =0}=0$ .Подставив это в уравнение Лейна-Эмдена, мы можем показать, что все нечетные коэффициенты ряда равны нулю. $a_{2m+1}=0$ .Кроме того, мы получаем рекурсивную связь между четными коэффициентами $b_{m}=a_{2m}$ из серии. $b_{m+1}=-{\frac {1}{(2m+2)(2m+3)}}\sum \limits _{k=0}^{m}b_{m-k}b_{k}$ Доказано, что этот ряд сходится по крайней мере при $\xi \leq 1$ но численные результаты показали хорошее согласие для гораздо больших значений.

Для n = 5

Начнем с уравнения Лейна – Эмдена: ${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0$

Переписывание для ${\frac {d\theta }{d\xi }}$ производит: ${\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}$

Дифференцирование по $ξ$ приводит к: $\theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}={\frac {9}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}$

В сокращении мы получаем: $\theta ^{5}={\frac {1}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}$

Следовательно, уравнение Лейна–Эмдена имеет решение $\theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}$ когда $n=5$ . Это решение конечно по массе, но бесконечно по радиальной протяженности, и поэтому полный политроп не представляет собой физическое решение. Чандрасекар долгое время считал, что найти другое решение $n=5$ «сложно и включает в себя эллиптические интегралы».

Решение Шриваставы

В 1962 году Самбхунатх Шривастава нашел явное решение, когда $n=5$ . ^[3] Его решение дается $\theta ={\frac {\sin(\ln {\sqrt {\xi }})}{{\sqrt {\xi }}\left[3-2\sin ^{2}(\ln {\sqrt {\xi }})\right]}},$ и из этого решения получается семейство решений $\theta (\xi )\rightarrow {\sqrt {A}}\,\theta (A\xi )$ можно получить с помощью преобразования гомологии. Поскольку это решение не удовлетворяет условиям в начале координат (фактически оно является колебательным с неограниченно растущими амплитудами по мере приближения к началу координат), это решение можно использовать в составных звездных моделях.

Аналитические решения

В приложениях основную роль играют аналитические решения, выражаемые сходящимся степенным рядом, развернутым вокруг некоторой начальной точки. Обычно точка расширения $\xi =0$ , которая также является особой точкой (фиксированной особенностью) уравнения, и при этом задаются некоторые начальные данные $\theta (0)$ в центре звезды. Можно доказать ^[4]^[5] что уравнение имеет сходящийся степенной ряд/аналитическое решение вокруг начала координат формы $\theta (\xi )=\theta (0)-{\frac {\theta (0)^{n}}{6}}\xi ^{2}+O(\xi ^{3}),\quad \xi \approx 0.$

Радиус сходимости этого ряда ограничен из-за существования ^[5]^[7] двух особенностей на мнимой оси в комплексной плоскости . Эти особенности расположены симметрично относительно начала координат. Их положение меняется при изменении параметров уравнения и начального условия. $\theta (0)$ , и поэтому они называются подвижными особенностями особенностей нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной плоскости из-за классификации Полем Пенлеве . Подобная структура особенностей появляется и в других нелинейных уравнениях, возникающих в результате редукции оператора Лапласа в сферической симметрии, например, в уравнении изотермической сферы. ^[7]

Аналитические решения могут быть продолжены вдоль реальной линии с помощью процедуры аналитического продолжения, приводящей к полному профилю ядер звезды или молекулярного облака . Два аналитических решения с перекрывающимися кругами сходимости также могут быть сопоставлены по перекрытию с решением более крупной области, что является широко используемым методом построения профилей требуемых свойств.

Решение ряда также используется при численном интегрировании уравнения. Он используется для небольшого смещения начальных данных для аналитического решения от начала координат, поскольку в начале координат численные методы не работают из-за сингулярности уравнения.

Численные решения

В общем случае решения находятся путем численного интегрирования. Многие стандартные методы требуют формулировки задачи в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка . Например, ^[8]

{\begin{aligned}&{\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\varphi }{\xi ^{2}}}\\[6pt]&{\frac {d\varphi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}\end{aligned}}

Здесь, $\varphi (\xi )$ интерпретируется как безразмерная масса, определяемая формулой $m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\varphi (\xi )$ . Соответствующие начальные условия: $\varphi (0)=0$ и $\theta (0)=1$ . Первое уравнение представляет гидростатическое равновесие, а второе — сохранение массы.

Гомологичные переменные

Уравнение, инвариантное к гомологиям

Известно, что если $\theta (\xi )$ является решением уравнения Лейна–Эмдена, то также $C^{2/n+1}\theta (C\xi )$ . ^[9] Решения, связанные таким образом, называются гомологичными ; процесс, который их преобразует, — это гомология . Если выбрать переменные, инвариантные относительно гомологий, то мы можем уменьшить порядок уравнения Лейна–Эмдена на единицу.

Существует множество таких переменных. Подходящим выбором является $U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\varphi }}$ и $V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\varphi }{\xi \theta }}$

Мы можем дифференцировать логарифмы этих переменных по $\xi$ , что дает ${\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}\left(3-n(n+1)^{-1}V-\right)$ и ${\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}\left(-1-U-(n+1)^{-1}V\right).$

Наконец, мы можем разделить эти два уравнения, чтобы устранить зависимость от $\xi$ , что оставляет ${\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right).$

Теперь это одно уравнение первого порядка.

Топология уравнения, инвариантного к гомологиям

Гомологически-инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений ${\frac {dU}{d\log \xi }}=-U\left(U+n(n+1)^{-1}V-3\right)$ и ${\frac {dV}{d\log \xi }}=V\left(U+(n+1)^{-1}V-1\right).$

Поведение решений этих уравнений можно определить с помощью анализа линейной устойчивости. Критические точки уравнения (где $dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0$ ), а собственные значения и собственные векторы матрицы Якоби сведены в таблицу ниже. ^[10]

Критическая точка	Собственные значения	Собственные векторы
$(0,0)$	$3,-1$	$(1,0),(0,1)$
$(3,0)$	$-3,2$	$(1,0),(-3n,5+5n)$
$(0,n+1)$	$1,3-n$	$(0,1),(2-n,1+n)$
$\left({\dfrac {n-3}{n-1}},2{\dfrac {n+1}{n-1}}\right)$	${\dfrac {n-5\pm \Delta _{n}}{2-2n}}$	$(1-n\mp \Delta _{n},4+4n)$