Сиськи метрические

В математике метрика Титса — это метрика, определенная на идеальной границе пространства Адамара (также называемого полным пространством CAT(0) ). Он назван в честь Жака Титса .

пространства Адамара Идеальная граница

Пусть ( X , d ) — пространство Адамара. Два геодезических луча c ₁ , c ₂ : [0, ∞] → X называются асимптотическими , если при движении они остаются на определенном расстоянии, т.е.

\sup _{t\geq 0}d(c_{1}(t),c_{2}(t))<\infty .

Эквивалентно, расстояние Хаусдорфа между двумя лучами конечно.

Асимптотическое свойство определяет отношение эквивалентности на множестве геодезических лучей, а множество классов эквивалентности называется идеальной границей ∂ X пространства X . Класс эквивалентности геодезических лучей называется граничной точкой X . Для любого класса эквивалентности лучей и любой точки p в X существует единственный луч в классе, исходящий из p .

показателя « Титс » Определение

Сначала мы определяем угол между граничными точками относительно точки p в X . Для любых двух граничных точек $\xi _{1},\xi _{2}$ в ∂X возьмем два геодезических луча c1 _, , c2 _{соответствующие} исходящие из p, двум граничным точкам соответственно. Можно определить угол между двумя лучами в точке p, называемый углом Александрова . Интуитивно возьмите треугольник с вершинами p , c ₁ ( t ), c ₂ ( t ) за маленькое t и постройте треугольник на плоской плоскости с такими же длинами сторон, как и у этого треугольника. Рассмотрим угол при вершине плоского треугольника, соответствующий p . Предел этого угла, когда t стремится к нулю, определяется как угол Александрова двух лучей в точке p . (По определению пространства CAT(0), угол монотонно уменьшается с уменьшением t , поэтому предел существует.) Теперь определим $\angle _{p}(\xi _{1},\xi _{2})$ быть этим углом.

Чтобы определить угловую метрику на границе ∂ X , не зависящую от выбора p , возьмем верхнюю грань по всем точкам из X

\angle (\xi _{1},\xi _{2}):=\sup _{p\in X}\angle _{p}(\xi _{1},\xi _{2}).

Метрика Титса d _T — это метрика длины, связанная с угловой метрикой, то есть для любых двух граничных точек расстояние Титса между ними является нижней границей длин всех соединяющих их кривых на границе, измеренных в угловой метрике. Если такой кривой конечной длины не существует, расстояние Титса между двумя точками определяется как бесконечность.

Идеальная граница X, снабженная метрикой Титса, называется границей Титса и обозначается как ∂ _T X .

Для полного пространства CAT(0) можно показать, что его идеальная граница с угловой метрикой является полным пространством CAT(1), а его граница Титса также является полным пространством CAT(1). Таким образом, для любых двух граничных точек $\xi _{1},\xi _{2}$ такой, что $\angle (\xi _{1},\xi _{2})<\pi$ , у нас есть

d_{\mathrm {T} }(\xi _{1},\xi _{2})=\angle (\xi _{1},\xi _{2}),

и точки могут быть соединены уникальным геодезическим сегментом на границе. Если пространство собственное , то любые две граничные точки, находящиеся на конечном расстоянии Титса друг от друга, можно соединить геодезическим отрезком на границе.

Примеры [ править ]

Для евклидова пространства E ^н, его границей Титса является единичная сфера S ^{н - 1}.
Пространство Адамара X называется пространством видимости , если любые две различные граничные точки являются концами геодезической линии в X . Для такого пространства угловое расстояние между любыми двумя граничными точками равно π, поэтому на идеальной границе не существует кривой конечной длины, соединяющей любые две различные граничные точки, а это означает, что расстояние Титса между любыми двумя из них равно бесконечность.

Ссылки [ править ]

Бридсон, Мартин Р.; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Фундаментальные начала математических наук 319. Берлин: Springer-Verlag. стр. XXII+643. ISBN 3-540-64324-9 . МР 1744486 .