Сумма символов

В математике сумма символов — это сумма ${\textstyle \sum \chi (n)}$ значений характера Дирихле χ по модулю N , взятых в заданном диапазоне значений n . Такие суммы являются основными в ряде вопросов, например в распределении квадратичных вычетов в частности, в классическом вопросе о нахождении верхней оценки наименьшего квадратичного невычета по модулю N. и , Суммы символов часто тесно связаны с экспоненциальными суммами посредством сумм Гаусса (это похоже на конечное преобразование Меллина ).

что х — неглавный характер Дирихле по отношению к модулю N. Предположим ,

Суммы по диапазонам

Сумма, взятая по всем классам вычетов по модулю N, тогда равна нулю. Это означает, что рассматриваемыми случаями будут суммы $\Sigma$ длины R < N на относительно коротких расстояниях, скажем, ,

$M\leq n<M+R.$

Фундаментальное улучшение тривиальной оценки $\Sigma =O(N)$ – неравенство Пойа–Виноградова , установленное независимо Георгием Пойа и И.М. Виноградовым в 1918 г., заявив в большой записи O, что

$\Sigma =O({\sqrt {N}}\log N).$

Приняв обобщенную гипотезу Римана , Хью Монтгомери и Р.С. Воган показали что есть дальнейшее улучшение

$\Sigma =O({\sqrt {N}}\log \log N).$

Суммирование полиномов

Другой важный тип суммы символов — это сумма, образованная

$\sum \chi (F(n))$

для некоторой функции F обычно является полиномом . Классическим результатом является случай квадратичного числа, например:

$F(n)=n(n+1)$

и х — символ Лежандра . Здесь сумма может быть оценена (как -1), результат, связанный с локальной дзета-функцией конического сечения .

В более общем смысле такие суммы для символа Якоби относятся к локальным дзета-функциям эллиптических кривых и гиперэллиптических кривых ; это означает, что с помощью Андре Вейля результатов для N = p простое число существуют нетривиальные оценки

$O({\sqrt {p}}).$

Константа, неявно используемая в обозначениях, линейна относительно рода рассматриваемой кривой, поэтому (символ Лежандра или гиперэллиптический случай) можно принять за степень F . (Более общие результаты для других значений N можно получить отсюда.)

Результаты Вейля также привели к границе Берджесса : применяя для получения нетривиальных результатов, выходящих за рамки Полиа – Виноградова, для R степени N, большей 1/4.

Предположим, что модуль N является простым числом.

${\begin{aligned}\Sigma &\ll p^{1/2}\log p,\\[6pt]\Sigma &\ll 2R^{1/2}p^{3/16}\log p,\\[6pt]\Sigma &\ll rR^{1-1/r}p^{(r+1)/4r^{2}}(\log p)^{1/2r}\end{aligned}}$

для любого целого числа r ≥ 3.

Ссылки

• Поля, Джордж (1918). «О распределении квадратных остатков и невычетов». Новости Общества наук в Геттингене : 21–29. ЖФМ   46.0265.02 .
• Виноградов, Иван Матвеевич (1918). «О распределении отходной и безотходной электроэнергии». Дж. Сок. Физ. Математика. унив. Перми : 18–28. ЖФМ   48.1352.04 .
• Берджесс, Д.А. (1957). «Распределение квадратичных остатков и невычетов». Математика . 4 (2): 106–112. дои : 10.1112/S0025579300001157 . Збл   0081.27101 .
• Монтгомери, Хью Л .; Воган, Роберт С. (1977). «Экспоненциальные суммы с мультипликативными коэффициентами» (PDF) . Математические изобретения . 43 (1): 69–82. Бибкод : 1977ИнМат..43...69М . дои : 10.1007/BF01390204 . hdl : 2027.42/46603 . Збл   0362.10036 .
• Монтгомери, Хью Л .; Воган, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. Издательство Кембриджского университета . стр. 306–325. ISBN  978-0-521-84903-6 . Збл   1142.11001 .

Дальнейшее чтение

• Коробов, Н.М. (1992). Экспоненциальные суммы и их приложения . Математика и ее приложения (советская серия). Том. 80. Перевод с русского Ю. Н. Шахов. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-1647-9 . Збл   0754.11022 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Полиа – Виноградова» . Математический мир .
• PlanetMath article on the Pólya–Vinogradov inequality