Модель Уилсона – Коуэна

В вычислительной нейробиологии модель Уилсона-Коуэна описывает динамику взаимодействий между популяциями очень простых возбуждающих и тормозных модельных нейронов . Он был разработан Хью Р. Уилсоном и Джеком Д. Коуэном. и расширения модели широко использовались при моделировании популяций нейронов. Модель важна исторически, поскольку она использует методы фазовой плоскости и численные решения для описания ответов популяций нейронов на стимулы. Поскольку модельные нейроны просты, только элементарное поведение предельного цикла, то есть нейронные колебания прогнозируется , и вызванные реакции, зависящие от стимула. Ключевые результаты включают существование множественных стабильных состояний и гистерезиса в реакции населения.

Математическое описание

Модель Уилсона-Коуэна рассматривает однородную популяцию взаимосвязанных нейронов возбуждающего и тормозного подтипов. Все клетки получают одинаковое количество возбуждающих и тормозных афферентов, то есть все клетки получают одинаковое среднее возбуждение x(t). Цель состоит в том, чтобы проанализировать изменение во времени количества возбуждающих и тормозных клеток, активирующихся в момент времени t, $E(t)$ и $I(t)$ соответственно.

Уравнения, описывающие эту эволюцию, представляют собой модель Уилсона-Коуэна:

$E(t+\tau )=\left[1-\int _{t-r}^{t}E(t')dt'\right]\;S_{e}\left(\int _{-\infty }^{t}\alpha (t-t')[c_{1}E(t')-c_{2}I(t')+P(t')]dt'\right)$

$I(t+\tau )=\left[1-\int _{t-r}^{t}I(t')dt'\right]\;S_{i}\left(\int _{-\infty }^{t}\alpha (t-t')[c_{3}E(t')-c_{4}I(t')+Q(t')]dt'\right)$

где:

• $S_{e}\{\}$ и $S_{i}\{\}$ являются функциями сигмовидной формы, зависящими от распределения порогов срабатывания (см. ниже)
• $\alpha (t)$ - функция затухания стимула
• $c_{1}$ и $c_{2}$ – соответственно коэффициент связности, дающий среднее количество возбуждающих и тормозных синапсов на возбуждающую клетку; $c_{3}$ и $c_{4}$ его аналоги для тормозных клеток
• $P(t)$ и $Q(t)$ являются внешним входным сигналом для возбуждающих/тормозящих популяций.

Если $\theta$ клетки обозначает пороговый потенциал и $D(\theta )$ - это распределение порогов во всех клетках, то ожидаемая доля нейронов, получающих возбуждение на уровне порога или выше в единицу времени, равна:

$S(x)=\int _{0}^{x}D(\theta )d\theta$,

это функция сигмовидной формы, если $D()$ является унимодальным.

Если вместо того, чтобы все клетки получали одинаковые возбуждающие сигналы и разный порог, мы считаем, что все клетки имеют одинаковый порог, но разное количество афферентных синапсов на клетку, т.е. $C(w)$ распределение числа афферентных синапсов, вариант функции $S()$ необходимо использовать:

$S(x)=\int _{\frac {\theta }{x}}^{\infty }C(w)dw$

Вывод модели

Если мы обозначим через $\tau$ рефрактерный период после триггера, доля клеток в рефрактерном периоде составляет $\int _{t-r}^{t}E(t')dt'$ а доля чувствительных (способных вызвать срабатывание) клеток равна $1-\int _{t-r}^{t}E(t')dt'$.

Средний уровень возбуждения возбудительной клетки за раз $t$ является:

$x(t)=\int _{-\infty }^{t}\alpha (t-t')[c_{1}E(t')-c_{2}I(t')+P(t')]dt'$

Таким образом, количество ячеек, которые срабатывают в некоторый момент времени $E(t+\tau )$ - количество клеток, не находящихся в рефрактерном интервале, $1-\int _{t-r}^{t}E(t')dt'$ И которые достигли возбуждающего уровня, $S_{e}(x(t))$, получая таким образом произведение в правой части первого уравнения модели (с допущением некоррелированных членов). То же самое обоснование можно сделать и для тормозных клеток, получив второе уравнение.

Упрощение модели, предполагающее крупнозернистость по времени

Когда предполагается крупномасштабное моделирование по времени, модель упрощается, представляя собой новые уравнения модели:

$\tau {\frac {d{\bar {E}}}{dt}}=-{\bar {E}}+(1-r{\bar {E}})S_{e}[kc_{1}{\bar {E}}(t)-kc_{2}{\bar {I}}(t)+kP(t)]$

$\tau '{\frac {d{\bar {I}}}{dt}}=-{\bar {I}}+(1-r'{\bar {I}})S_{i}[k'c_{3}{\bar {E}}(t)-k'c_{4}{\bar {I}}(t)+k'Q(t)]$

где тактовые термины — это грубые по времени версии исходных значений.

Применение при эпилепсии

Определение трех концепций имеет основополагающее значение для понимания гиперсинхронизации нейрофизиологической активности на глобальном (системном) уровне:

1. Механизм, посредством которого нормальная (исходная) нейрофизиологическая активность развивается в гиперсинхронизацию крупных областей мозга во время эпилептических припадков
2. Ключевые факторы, определяющие скорость расширения гиперсинхронизированных регионов
3. Динамика паттерна электрофизиологической активности в крупномасштабном масштабе

Канонический анализ этих проблем, разработанный в 2008 году Шустерманом и Троем с использованием модели Уилсона-Коуэна: прогнозирует качественные и количественные особенности эпилептиформной активности. В частности, он точно предсказывает скорость распространения эпилептических припадков (которая примерно в 4–7 раз медленнее, чем нормальная активность мозговых волн) у человека с хронически имплантированными электроэнцефалографическими электродами.

Переход в гиперсинхронизацию

Переход от нормального состояния мозговой деятельности к эпилептическим припадкам не был сформулирован теоретически до 2008 года, когда был нанесен на карту теоретический путь от исходного состояния к крупномасштабным автоколебаниям, равномерно распространяющимся от точки раздражителя. впервые.

Реалистическое состояние базовой физиологической активности было определено с использованием следующего двухкомпонентного определения :

(1) Независимый от времени компонент, представленный подпороговой возбуждающей активностью E и сверхпороговой тормозной активностью I.

(2) Изменяющийся во времени компонент, который может включать одиночные импульсные волны, многоимпульсные волны или периодические волны, вызванные спонтанной активностью нейронов.

Это базовое состояние представляет собой активность мозга в состоянии релаксации, в котором нейроны получают некоторый уровень спонтанной, слабой стимуляции небольшими естественными концентрациями нейрогормональных веществ. У бодрствующих взрослых это состояние обычно связано с альфа-ритмом , тогда как более медленные ( тета- и дельта- ритмы) обычно наблюдаются во время более глубокого расслабления и сна. Для описания этой общей ситуации используется 3-переменная $(u,I,v)$ можно использовать пространственно-зависимое расширение классической модели Уилсона-Коуэна. При соответствующих начальных условиях возбуждающий компонент u доминирует над тормозным компонентом I, и система с тремя переменными сводится к модели типа Пинто-Эрментраута с двумя переменными.

${\partial u \over \partial t}=u-v+\int _{R^{2}}\omega (x-x',y-y')f(u-\theta )\,dxdy+\zeta (x,y,t),$

${\partial v \over \partial t}=\epsilon (\beta u-v).$

Переменная v управляет восстановлением возбуждения u; $\epsilon >0$ и $\beta >0$ определить скорость изменения восстановления. Функция подключения $\omega (x,y)$ положителен, непрерывен, симметричен и имеет типичный вид $\omega =Ae^{-\lambda {\sqrt {-(x^{2}+y^{2})}}}$. В исх. $(A,\lambda )=(2.1,1).$ Функция темпа стрельбы, которая, как принято считать, имеет резко возрастающую сигмоидальную форму, аппроксимируется выражением $f(u-\theta )=H(u-\theta )$, где H обозначает функцию Хевисайда; $\zeta (x,y,t)$ является кратковременным стимулом. Этот $(u,v)$ Система успешно использовалась в широком спектре нейробиологических исследований. В частности, он предсказал существование спиральных волн, которые могут возникать во время судорог; это теоретическое предсказание впоследствии было подтверждено экспериментально с использованием оптической визуализации срезов коры головного мозга крысы.

Скорость расширения

Расширение гиперсинхронизированных областей, демонстрирующих устойчивые объемные колебания большой амплитуды, происходит, когда колебания сосуществуют с устойчивым состоянием покоя. $(u,v)=(0,0)$. Чтобы понять механизм, ответственный за расширение, необходимо линеаризовать $(u,v)$ система вокруг $(0,0)$ когда $\epsilon >0$ держится фиксированным. В линеаризованной системе наблюдаются подпороговые затухающие колебания, частота которых возрастает с увеличением $\beta$ увеличивается. При критическом значении $\beta ^{*}$ где частота колебаний достаточно высока, возникает бистабильность в $(u,v)$ система: устойчивое, пространственно независимое периодическое решение (объемное колебание) и устойчивое состояние покоя сосуществуют в непрерывном диапазоне параметров. Когда $\beta \geq \beta ^{*}$ где происходят объемные колебания, «Скорость расширения области гиперсинхронизации определяется взаимодействием двух ключевых особенностей: (i) скорости c волн, которые формируются и распространяются наружу от края области, и (ii) вогнутой формы графика переменная активации u по мере ее роста во время каждого цикла объемных колебаний от состояния покоя u = 0 до порога активации. Численные эксперименты показывают, что во время подъема u приближается к пороговому значению, поскольку скорость вертикального увеличения замедляется с течением времени $\Delta t,$ из-за вогнутого компонента стабильная уединенная волна, исходящая из области, заставляет область расширяться в пространстве со скоростью , пропорциональной скорости волны. Из этого первоначального наблюдения естественно ожидать, что константа пропорциональности должна быть долей времени, в течение которого решение является вогнутым в течение одного цикла». $\beta \geq \beta ^{*}$, скорость расширения региона оценивается как

$Rate=(\Delta t/T)*c~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

где $\Delta t$ – длина подпорогового интервала времени, T – период периодического решения; c — скорость волн, исходящих из области гиперсинхронизации. Реалистичное значение c , полученное Wilson et al., составляет с =22,4 мм/с.

Как оценить соотношение $\Delta t/T?$ Чтобы определить значения для $\Delta t/T$ необходимо проанализировать основное объемное колебание, которое удовлетворяет пространственно независимой системе

${{du} \over {dt}}=u-v+H(u-\theta ),$

${{dv} \over {dt}}=\epsilon (\beta u-v).$

Эта система получена с использованием стандартных функций и значений параметров. $\omega =2.1e^{-\lambda {\sqrt {-(x^{2}+y^{2})}}}$, $\epsilon =0.1$ и $\theta =0.1$ Объемные колебания возникают, когда $\beta \geq \beta ^{*}=12.61$. Когда $12.61\leq \beta \leq 17$Шустерман и Трой проанализировали объемные колебания и обнаружили $0.136\leq \Delta t/T\leq 0.238$. Это дает диапазон

$3.046mm/s\leq Rate\leq 5.331mm/s~~~~~~~~~~~~(2)$

С $0.136\leq \Delta t/T\leq 0.238$, уравнение миграции (1) показывает, что скорость представляет собой долю скорости бегущей волны, что согласуется с экспериментальными и клиническими наблюдениями относительно медленного распространения эпилептической активности. Этот механизм миграции также обеспечивает правдоподобное объяснение распространения и поддержания эпилептиформной активности без движущего источника, который, несмотря на ряд экспериментальных исследований, никогда не наблюдался.

Сравнение теоретических и экспериментальных скоростей миграции

Скорость миграции гиперсинхронной активности, экспериментально зарегистрированная во время судорог у человека с использованием хронически имплантированных субдуральных электродов на поверхность левой височной доли, было оценено как

$Rate\approx 4mm/s$,

что соответствует теоретически предсказанному диапазону, указанному выше в (2). Соотношение $Rate/c$ в формуле (1) видно, что передний край области синхронной судорожной активности мигрирует примерно в 4–7 раз медленнее, чем нормальная волновая активность мозга, что согласуется с описанными выше экспериментальными данными.

Подводя итог, математическое моделирование и теоретический анализ крупномасштабной электрофизиологической активности предоставляют инструменты для прогнозирования распространения и миграции гиперсинхронной активности мозга, которые могут быть полезны для диагностической оценки и лечения пациентов с эпилепсией. Это также может быть полезно для прогнозирования миграции и распространения электрической активности на большие области мозга, которые происходят во время глубокого сна ( дельта-волна ), когнитивной активности и в других функциональных состояниях.