Проблема Ферми

Эта статья о методике оценки. Чтобы узнать о вопросе Ферми о внеземной жизни, см. Парадокс Ферми .

В физике или инженерном образовании проблема Ферми (или викторина Ферми , вопрос Ферми , оценка Ферми ), также известная как проблема порядка величины (или оценка порядка величины , оценка порядка ), представляет собой задачу оценки, предназначенную для преподавать анализ размерностей или аппроксимацию экстремальных научных расчетов. Проблемы Ферми обычно представляют собой закулисные вычисления . Методика оценки названа в честь физика Энрико Ферми , поскольку он был известен своей способностью делать хорошие приблизительные расчеты с небольшим количеством фактических данных или вообще без них. Проблемы Ферми обычно включают в себя обоснованные предположения о количествах и их дисперсии или нижних и верхних границах. В некоторых случаях оценки порядка величины также можно получить с помощью анализа размерностей .

Историческая справка

Примером может служить оценка Энрико Ферми мощности атомной бомбы , взорвавшейся при испытании Тринити , основанная на расстоянии, пройденном кусочками бумаги, которые он выронил из рук во время взрыва. Оценка Ферми в 10 килотонн в тротиловом эквиваленте была на порядок ниже принятого сейчас значения в 21 килотонну.

Примеры

Вопросы Ферми часто носят крайний характер и обычно не могут быть решены с использованием обычной математической или научной информации.

Примеры вопросов официального конкурса Ферми:

«Если бы массу одной чайной ложки воды можно было полностью преобразовать в энергию в виде тепла, какой объем воды, первоначально находящейся при комнатной температуре, она могла бы довести до кипения? (в литрах)».

«Насколько нагревается река Темза при прохождении через плотину Фэншоу ? (градусы Цельсия)».

«Какова масса всех автомобилей, сданных на слом в Северной Америке в этом месяце? (килограммы)».

Возможно, самым известным вопросом Ферми является уравнение Дрейка , которое пытается оценить количество разумных цивилизаций в галактике. Основной вопрос о том, почему, если таких цивилизаций было значительное количество, человеческая цивилизация никогда не встречала других, называется парадоксом Ферми .

Преимущества и сфера применения

Ученые часто ищут оценки Ферми ответа на проблему, прежде чем обращаться к более сложным методам для расчета точного ответа. Это обеспечивает полезную проверку результатов. Хотя оценка почти наверняка неверна, это также простой расчет, который позволяет легко проверить ошибки и найти ошибочные предположения, если полученная цифра намного превосходит то, что мы могли бы разумно ожидать. Напротив, точные расчеты могут быть чрезвычайно сложными, но с ожиданием того, что ответ, который они дают, будет правильным. Гораздо большее количество задействованных факторов и операций может скрыть очень значительную ошибку либо в математическом процессе, либо в предположениях, на которых основано уравнение, но результат все равно можно считать правильным, поскольку он был получен на основе точной формулы, которая ожидается, что это принесет хорошие результаты. Без разумной системы координат для работы редко бывает ясно, является ли результат приемлемо точным или на много градусов (в десятки или сотни раз) он слишком велик или слишком мал. Оценка Ферми дает быстрый и простой способ получить эту систему отсчета для того, что, как можно разумно ожидать, будет ответом.

Пока исходные допущения в оценке являются разумными величинами, полученный результат даст ответ в том же масштабе, что и правильный результат, а если и нет, то даст основу для понимания того, почему это так. Например, предположим, что человека попросили определить количество настройщиков фортепиано в Чикаго. Если их первоначальная оценка говорила им, что их должно быть около сотни, но точный ответ говорит им, что их много тысяч, тогда они знают, что им нужно выяснить, почему существует такое отклонение от ожидаемого результата. Сначала искали ошибки, затем факторы, которые не были учтены при оценке – есть ли в Чикаго несколько музыкальных школ или других мест с непропорционально высоким соотношением фортепиано и людей? Независимо от того, близок ли он к наблюдаемым результатам или очень далек от них, контекст, который обеспечивает оценка, дает полезную информацию как о процессе расчета, так и о предположениях, которые использовались для рассмотрения проблем.

Оценки Ферми также полезны при решении задач, где оптимальный выбор метода расчета зависит от ожидаемого размера ответа. Например, оценка Ферми может указывать на то, являются ли внутренние напряжения конструкции достаточно низкими, чтобы их можно было точно описать с помощью линейной упругости ; или если оценка уже имеет значительную зависимость по масштабу относительно какой-либо другой величины, например, если конструкция будет перепроектирована, чтобы выдерживать нагрузки, в несколько раз превышающие оценку.

Хотя расчеты Ферми часто не точны, поскольку с их предположениями может быть много проблем, такого рода анализ действительно дает информацию о том, на что следует обратить внимание, чтобы получить лучший ответ. В приведенном выше примере можно попытаться найти более точную оценку количества фортепиано, настроенных настройщиком фортепиано за обычный день, или найти точную цифру для населения Чикаго. Он также дает приблизительную оценку, которая может быть достаточно хороша для некоторых целей: если человек хочет открыть в Чикаго магазин по продаже оборудования для настройки фортепиано и подсчитывает, что ему нужно 10 000 потенциальных клиентов, чтобы оставаться в бизнесе, он может разумно предположить, что Приведенная выше оценка значительно ниже 10 000, поэтому им следует рассмотреть другой бизнес-план (и, приложив еще немного усилий, они могли бы вычислить приблизительную верхнюю границу числа настройщиков фортепиано, рассмотрев самые крайние разумные значения, которые могут появиться в каждом из свои предположения).

Объяснение

Оценки Ферми обычно работают, потому что оценки отдельных членов часто близки к правильным, а завышенные и недооцененные значения помогают компенсировать друг друга. То есть, если нет постоянной предвзятости, расчет Ферми, включающий умножение нескольких оцениваемых факторов (например, количества настройщиков фортепиано в Чикаго), вероятно, будет более точным, чем можно было предположить на первый взгляд.

Подробно, умножение оценок соответствует сложению их логарифмов; таким образом, получается своего рода винеровский процесс или случайное блуждание в логарифмическом масштабе , которое распространяется как ${\sqrt {n}}$ (по числу термов n ). В дискретном выражении количество завышенных и заниженных оценок будет иметь биномиальное распределение . В непрерывном выражении, если сделать оценку Ферми за n шагов со стандартным отклонением σ в логарифмической шкале от фактического значения, то общая оценка будет иметь стандартное отклонение. $\sigma {\sqrt {n}}$, поскольку стандартное отклонение суммы масштабируется как ${\sqrt {n}}$ по количеству слагаемых.

Например, если сделать оценку Ферми за 9 шагов, на каждом шаге завышая или занижая правильное число в 2 раза (или со стандартным отклонением 2), то после 9 шагов стандартная ошибка увеличится в логарифмический раз. из ${\sqrt {9}}=3$, поэтому 2 ³ = 8. Таким образом, можно ожидать, что он окажется в пределах От 1 ⁄ 8 до 8 раз правильного значения – в пределах порядка величины и намного меньше, чем в худшем случае ошибки в 2 раза. ⁹ = 512 (около 2,71 порядка). Если у кого-то более короткая цепочка или более точные оценки, общая оценка будет соответственно лучше.

См. также

• Предполагаемый
• Мертвая расплата
• Размахивание руками
• эвристика
• Порядок приближения
• Пример Штейна
• Сферическая корова

Дальнейшее чтение

Следующие книги содержат множество примеров задач Ферми с решениями:

• Джон Харт, «Рассмотрим сферическую корову: курс решения экологических проблем», университетские научные книги. 1988. ISBN   0-935702-58-X .
• Джон Харт, «Рассмотрим цилиндрическую корову: больше приключений в решении экологических проблем», университетские научные книги. 2001. ISBN   1-891389-17-3 .
• Клиффорд Шварц, «Задняя часть конверта», издательство Университета Джона Хопкинса по физике. 2003. ISBN   0-8018-7263-4 . ISBN   978-0801872631 .
• Лоуренс Вайнштейн и Джон А. Адам, «Предположение: решение мировых проблем на обратной стороне салфетки для коктейля», Princeton University Press. 2008. ISBN   0-691-12949-5 . ISBN   978-1-4008-2444-1 . Учебник по задачам Ферми.
• Аарон Сантос, «Сколько ликов?: Или как почти что угодно оценить» . Беговой пресс. 2009. ISBN   0-7624-3560-7 . ISBN   978-0-7624-3560-9 .
• Санджой Махаджан, Математика уличных боев: искусство обоснованного угадывания и оппортунистического решения проблем MIT Press. 2010. ISBN   026251429X . ISBN   978-0262514293 .
• Йоран Гримвалль, Оцени! Ускоренный курс умного мышления Издательство Университета Джонса Хопкинса. 2010. ISBN   0-8018-9717-3 . ISBN   978-0-8018-9717-7 .
• Лоуренс Вайнштейн, «Предположение 2.0: решение сегодняшних проблем на обратной стороне салфетки», Princeton University Press. 2012. ISBN   978-0-691-15080-2 .
• Санджой Махаджан, Искусство понимания в науке и технике, MIT Press. 2014. ISBN   9780262526548 .
• Дмитрий Будкер, Александр Олег Сушков, Физика на ногах. Вопросы на экзамене для выпускников Беркли Oxford University Press. 2015. ISBN   978-0199681655 .
• Роб Истауэй, «Математика на обратной стороне конверта: Умные способы (грубо) вычислить что угодно» HarperCollins. 2019. ISBN   978-0008324582 .

Внешние ссылки

• коллекцию задач Группа физического образования Университета Мэриленда ведет Ферми.
• Вопросы Ферми: Руководство для учителей, студентов и руководителей мероприятий Ллойда Абрамса.
• «А что если? Раскрась Землю» из книги А что, если? Серьезные научные ответы на абсурдные гипотетические вопросы , Рэндалл Манро .
• Пример задачи Ферми, касающейся общего количества бензина, потребляемого автомобилями с момента изобретения автомобилей, и сравнение с выходом энергии, выделяемой Солнцем.
• «Введение в оценки Ферми» Нуньо Семпере, в котором есть доказательство того, почему разложение в стиле Ферми дает лучшие оценки.
• «Как следует преподавать математику нематематикам?» Тимоти Гауэрс .

Существует или существовал ряд курсов университетского уровня, посвященных оцениванию и решению задач Ферми. Материалы этих курсов являются хорошим источником дополнительных примеров задач Ферми и материалов о стратегиях решения:

• 6.055J / 2.038J Искусство аппроксимации в науке и технике, которое преподает Санджой Махаджан в Массачусетском технологическом институте (MIT).
• Физика на обратной стороне конверта, которую преподавал Лоуренс Вайнштейн в Университете Олд Доминион .
• Физика Ордена величины, которую преподавал Стерл Финни в Калифорнийском технологическом институте .
• Порядок оценки величины преподавал Патрик Чуанг в Калифорнийском университете в Санта-Крус .
• Решение задач порядка величины преподает Линда Струббе в Университете Торонто .
• Физика Ордена величины преподается Юджином Чангом в Калифорнийском университете в Беркли .
• Глава 2: Открытия на обратной стороне конверта с передовых границ науки: научные привычки ума, преподаваемые Дэвидом Гельфандом в Колумбийском университете .