Теория правдоподобия

Эта статья о теории правдоподобия в актуарной науке. Чтобы узнать о достоверности в целом, см. Достоверность . Для применения концепции в институциональной теории см. тезис о достоверности .

Теория правдоподобия — это раздел актуарной математики, занимающийся определением премий за риск . Для достижения этой цели он использует математические модели, пытаясь спрогнозировать ( ожидаемое ) количество страховых выплат на основе прошлых наблюдений. С технической точки зрения, проблема состоит в том, чтобы найти наилучшее линейное приближение к среднему значению байесовской плотности прогнозирования , поэтому теория достоверности имеет много общих результатов с линейной фильтрацией , а также с байесовской статистикой в ​​более широком смысле.

Например, при групповом медицинском страховании страховщик заинтересован в расчете премии за риск. $RP$, (т.е. теоретическая ожидаемая сумма претензий) для конкретного работодателя в наступающем году. Страховщик, вероятно, будет иметь оценку исторического общего опыта убытков, $x$, а также более конкретную оценку для рассматриваемого работодателя, $y$. Присвоение коэффициента достоверности, $z$, к общему опыту урегулирования убытков (и обратному опыту работодателя) позволяет страховщику получить более точную оценку премии за риск следующим образом:

$$RP=xz+y(1-z).$$Коэффициент достоверности получается путем расчета оценки максимального правдоподобия , которая минимизирует ошибку оценки. Предполагая дисперсию $x$ и $y$ – известные величины, принимающие значения $u$ и $v$ соответственно, можно показать, что $z$ должно быть равно:

$$z=v/(u+v).$$Следовательно, чем больше неопределенности имеет оценка, тем ниже ее достоверность.

Виды доверия

В байесовской достоверности мы отделяем каждый класс (B) и присваиваем им вероятность (Вероятность B). Затем мы находим, насколько вероятен наш опыт (А) в каждом классе (Вероятность А при условии Б). Далее мы находим, насколько вероятен наш опыт во всех классах (вероятность А). Наконец, мы можем найти вероятность нашего класса, учитывая наш опыт. Итак, возвращаясь к каждому классу, мы взвешиваем каждую статистику с вероятностью конкретного класса с учетом опыта.

Доверие к Бюльману зависит от различий в численности населения. Более конкретно, он пытается увидеть, какая часть общей дисперсии приходится на дисперсию ожидаемых значений каждого класса (дисперсия гипотетического среднего значения) и какая часть относится на ожидаемую дисперсию по всем классам (ожидаемое значение Отклонение процесса). Допустим, у нас есть баскетбольная команда с большим количеством очков за игру. Иногда они получают 128, иногда — 130, но всегда одно из двух. По сравнению со всеми баскетбольными командами это относительно низкая дисперсия, а это означает, что они будут очень мало способствовать ожидаемому значению дисперсии процесса. Кроме того, их необычно высокое количество очков значительно увеличивает дисперсию среди населения, а это означает, что, если бы лига их выгнала, у них было бы гораздо более предсказуемое общее количество очков для каждой команды (более низкая дисперсия). Итак, эта команда определенно уникальна (они вносят большой вклад в дисперсию гипотетического среднего). Так что мы можем оценить опыт этой команды с достаточно высоким авторитетом. Они часто/всегда набирают много очков (низкое ожидаемое значение дисперсии процесса), и немногие команды набирают столько же очков, как они (высокая дисперсия гипотетического среднего).

Простой пример

Предположим, в коробке лежат две монеты. У одной есть орел с обеих сторон, а другая представляет собой обычную монету с вероятностью выпадения орла или решки 50:50. Вам нужно сделать ставку на результат после того, как один из них будет случайно выбран и перевернут.

Вероятность выпадения орла составляет 0,5 * 1 + 0,5 * 0,5 = 0,75. Это связано с тем, что существует вероятность 0,5 выбора монеты с орлом со 100% вероятностью выпадения орла и вероятность 0,5 выбора честной монеты с вероятностью 50%.

Теперь та же монета используется повторно, и вас снова просят сделать ставку на результат.

Если при первом броске выпала решка, существует 100% вероятность того, что вы имеете дело с честной монетой, поэтому при следующем броске вероятность выпадения орла составляет 50%, а вероятность выпадения решки - 50%.

Если при первом броске был орёл, мы должны вычислить условную вероятность того, что выбранная монета была только орлом, а также условную вероятность того, что монета была честной, после чего мы можем вычислить условную вероятность выпадения орла при следующем броске. Вероятность того, что монета выпала только орлом, при условии, что первый подброс был орлом, равна вероятности выбора монеты только орла, умноженной на вероятность выпадения орла для этой монеты, деленную на начальную вероятность выпадения орла при первом подбрасывании, или . 5 * 1/0,75 = 2/3. Вероятность того, что она выпала из честной монеты, учитывая, что первый подброс был орлом, равна вероятности выбора честной монеты, умноженной на вероятность выпадения орла для этой монеты, деленную на начальную вероятность выпадения орла при первом подбрасывании, или 0,5 * 0,5. / 0,75 = 1/3. Наконец, условная вероятность выпадения орла при следующем подбрасывании, учитывая, что первый подброс был орлом, равна условной вероятности выпадения орла для монеты только орла, умноженной на вероятность выпадения орла для монеты только орла плюс условная вероятность того, что монета выпадет только орлом, умноженная на вероятность орлов для честной монеты, или 2/3 * 1 + 1/3 * 0,5 = 5/6 ≈ 0,8333.

Актуарная достоверность

Актуарная достоверность описывает подход, используемый актуариями для улучшения статистических оценок. Хотя этот подход может быть сформулирован либо в частотной, либо в байесовской статистической схеме, последний часто предпочтительнее из-за простоты распознавания более чем одного источника случайности как с помощью «выборки», так и «априорной» информации. В типичном приложении актуарий имеет оценку X, основанную на небольшом наборе данных, и оценку M, основанную на более крупном, но менее значимом наборе данных. Оценка достоверности равна ZX + (1-Z)M, где Z — число от 0 до 1 (называемое «весом достоверности» или «коэффициентом достоверности»), рассчитанное для того, чтобы сбалансировать ошибку выборки X и возможное отсутствие релевантности (и, следовательно, ошибку моделирования) M.

Когда страховая компания рассчитывает размер премии, которую она будет взимать, она делит держателей полисов на группы. Например, автомобилисты могут быть разделены по возрасту, полу и типу автомобиля; молодой человек за рулем быстрой машины считается группой высокого риска, а пожилая женщина за рулем маленькой машины считается группой низкого риска. Разделение производится с учетом двух требований: риски в каждой группе достаточно схожи, а группа достаточно велика, чтобы можно было провести значимый статистический анализ опыта убытков для расчета премии. Этот компромисс означает, что ни одна из групп не содержит только идентичных рисков. Проблема тогда состоит в том, чтобы найти способ объединить опыт группы с опытом индивидуального риска, чтобы лучше рассчитать премию. Теория доверия предлагает решение этой проблемы.

Актуариям договоров важно знать теорию достоверности, чтобы рассчитать премию по группе страхования . Цель состоит в том, чтобы создать систему оценки опыта для определения премии в следующем году, принимая во внимание не только индивидуальный опыт работы в группе, но и коллективный опыт.

Есть две крайние позиции. Один из них — взимать со всех одинаковую премию, рассчитанную по общему среднему значению. ${\overline {X}}$ данных. Это имеет смысл только в том случае, если портфель однороден, что означает, что все ячейки рисков имеют одинаковые средние требования. Однако, если портфель неоднороден, не рекомендуется взимать премию таким образом (завышая цену «хорошим» людям и занижая цену «плохим» людям, рискующим), поскольку «хорошие» риски перенесут свой бизнес в другое место, оставив страховщика только с «плохими» рисками. Это пример неблагоприятного отбора .

Наоборот, взимать плату с группы $j$ его собственные средние претензии, будучи ${\overline {X_{j}}}$ в качестве премии, взимаемой со страхователя. Эти методы используются, если портфель неоднороден при достаточно большом опыте убытков. Чтобы скомпрометировать эти две крайние позиции, мы берем средневзвешенное значение двух крайностей:

$C=z_{j}{\overline {X_{j}}}+(1-z_{j}){\overline {X}}\,$

$z_{j}$ имеет следующий интуитивный смысл: он выражает, насколько «достоверен» (приемлем) индивидуум клетки $j$ является. Если оно высокое, используйте более высокое $z_{j}$ прикрепить больший вес к зарядке ${\overline {X_{j}}}$, и в этом случае $z_{j}$ называется фактором доверия, а такая взимаемая премия называется премией за доверие.

Если бы группа была полностью однородной, то было бы разумно положить $z_{j}=0$, а если бы группа была полностью неоднородной, то было бы разумно положить $z_{j}=1$. Использование промежуточных значений разумно в той степени, в которой как индивидуальная, так и групповая история полезна для вывода о будущем индивидуальном поведении.

Например, у актуария есть исторические данные о несчастных случаях и заработной плате на обувной фабрике, предполагающие, что уровень несчастных случаев составляет 3,1 на миллион долларов заработной платы. У нее есть отраслевая статистика (на основе всех обувных фабрик), согласно которой этот показатель составляет 7,4 несчастных случая на миллион. При доверии Z, равном 30%, она оценила бы уровень несчастных случаев на заводе как 30%(3,1) + 70%(7,4) = 6,1 несчастных случаев на миллион.

Дальнейшее чтение

• Бехан, Дональд Ф. (2009) «Теория статистической достоверности» , Юго-восточная актуарная конференция, 18 июня 2009 г.
• Лонгли-Кук, Л.Х. (1962) Введение в теорию правдоподобия PCAS, 49, 194–221.
• Малер, Ховард К.; Дин, Кертис Гэри (2001). «Глава 8: Доверие» (PDF) . В Актуарном обществе по несчастным случаям (ред.). Основы актуарной науки о несчастных случаях (4-е изд.). Актуарное общество по несчастным случаям . стр. 485–659. ISBN  978-0-96247-622-8 . Проверено 25 июня 2015 г.
• Уитни, AW (1918) Theory of Experience Rating, Proceedings of Casualty Actuarial Society, 4, 274-292 (Это одна из оригинальных актуарных статей по несчастным случаям, посвященная достоверности. В ней используются байесовские методы, хотя автор использует ныне архаичные методы). термин «обратная вероятность».)
• Вентер, Гэри Г. (2005) « Теория правдоподобия для чайников »