Закон общего ожидания

Утверждение теории вероятностей, известное как закон полного ожидания , закон повторных ожиданий ( ЛОЖЬ ), закон Адама , правило башни , и о сглаживании теорема среди других названий, говорится, что если $X$ это случайная величина, математическое ожидание которой $\operatorname {E} (X)$ определяется, и $Y$ — любая случайная величина в том же вероятностном пространстве , тогда

$\operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),$

т.е. ожидаемое значение условного ожидаемого значения $X$ данный $Y$ совпадает с ожидаемым значением $X$.

Примечание. Условное ожидаемое значение E( X | Y ), где Y является случайной величиной, не является простым числом; это случайная величина, значение которой зависит от значения Y . То есть условное ожидаемое значение X при событии Y = y является числом и функцией y . Если мы напишем g ( y ) вместо значения E( X | Y = y ), то случайная величина E( X | Y ) будет равна g ( Y ).

В одном частном случае говорится, что если ${\left\{A_{i}\right\}}$ является конечным или счетным разбиением выборочного пространства , то

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i}{\operatorname {E} (X\mid A_{i})\operatorname {P} (A_{i})}.$

Пример

Предположим, что только два завода поставляют лампочки на рынок . Фабрика $X$лампочки работают в среднем 5000 часов, тогда как заводские $Y$Лампочки работают в среднем 4000 часов. Известно, что завод $X$ поставляет 60% всех имеющихся лампочек. Каков ожидаемый срок службы купленной лампы?

Применяя закон полного ожидания, имеем:

${\begin{aligned}\operatorname {E} (L)&=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600\end{aligned}}$

где

• $\operatorname {E} (L)$ ожидаемый срок службы лампочки;
• $\operatorname {P} (X)={6 \over 10}$ - вероятность того, что купленная лампочка была изготовлена ​​на заводе $X$;
• $\operatorname {P} (Y)={4 \over 10}$ - вероятность того, что купленная лампочка была изготовлена ​​на заводе $Y$;
• $\operatorname {E} (L\mid X)=5000$ ожидаемый срок службы лампы, изготовленной $X$;
• $\operatorname {E} (L\mid Y)=4000$ ожидаемый срок службы лампы, изготовленной $Y$.

Таким образом, ожидаемый срок службы каждой купленной лампочки составляет 4600 часов.

Неофициальное доказательство

Когда совместная функция плотности вероятности и четко определена ожидания интегрируемы , мы пишем для общего случая $${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\int x\Pr[X=x]~dx\\\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\int x\Pr[X=x\mid Y=y]~dx\\\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y))&=\int \left(\int x\Pr[X=x\mid Y=y]~dx\right)\Pr[Y=y]~dy\\&=\int \int x\Pr[X=x,Y=y]~dx~dy\\&=\int x\left(\int \Pr[X=x,Y=y]~dy\right)~dx\\&=\int x\Pr[X=x]~dx\\&=\operatorname {E} (X)\,.\end{aligned}}$$Аналогичный вывод работает для дискретных распределений, используя суммирование вместо интегрирования. В конкретном случае раздела дайте каждой ячейке раздела уникальную метку и пусть случайная величина Y будет функцией выборочного пространства, которая присваивает метку ячейки каждой точке в этой ячейке.

Доказательство в общем случае

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ — вероятностное пространство, на котором две под σ-алгебры ${\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq {\mathcal {F}}$ определены. Для случайной величины $X$ на таком пространстве закон сглаживания гласит, что если $\operatorname {E} [X]$ определяется, т.е. $\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty$, затем

$\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{1}]\quad {\text{(a.s.)}}.$

Доказательство . Поскольку условное математическое ожидание является производной Радона–Никодима , проверка следующих двух свойств устанавливает закон сглаживания:

• $\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}_{1}$- измеримый
• $\int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} ,$ для всех $G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}.$

Первое из этих свойств справедливо по определению условного ожидания. Чтобы доказать второе,

${\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P} ,\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty ,\end{aligned}}$

итак, интеграл $\textstyle \int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P}$ определено (не равно $\infty -\infty$).

Таким образом, второе свойство имеет место, поскольку $G_{1}\in {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}$ подразумевает

$\int _{G_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\mid {\mathcal {G}}_{1}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}_{2}]\,d\operatorname {P} =\int _{G_{1}}X\,d\operatorname {P} .$

Следствие. В частном случае, когда ${\mathcal {G}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}$ и ${\mathcal {G}}_{2}=\sigma (Y)$, закон сглаживания сводится к

$\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].$

Альтернативное доказательство $\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].$

Это простое следствие теоретико-мерного определения условного ожидания . По определению, $\operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)]$ это $\sigma (Y)$-измеримая случайная величина, удовлетворяющая

$\int _{A}\operatorname {E} [X\mid Y]\,d\operatorname {P} =\int _{A}X\,d\operatorname {P} ,$

для каждого измеримого множества $A\in \sigma (Y)$. принимая $A=\Omega$ доказывает утверждение.

См. также

• Фундаментальная теорема покера для одного практического применения.
• Закон полной вероятности
• Закон полной дисперсии
• Закон полной ковариации
• Закон полной кумулятивности
• Распределение продукта#ожидание (применение Закона для доказательства того, что ожидание продукта является продуктом ожиданий)

Ссылки

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-00710-2 . (Теорема 34.4)
• Кристофер Симс , «Заметки о случайных величинах, ожиданиях, плотностях вероятности и мартингалах» , особенно уравнения (16)–(18)