Эта-инвариант

В математике эта- инвариант самосопряженного эллиптического дифференциального оператора на компактном многообразии формально равен количеству положительных собственных значений минус количество отрицательных собственных значений. На практике оба числа часто бесконечны, поэтому определяются с помощью регуляризации дзета-функции . Она была введена Атьей , Патоди и Сингером ( 1973 , 1975 ), которые использовали ее для распространения сигнатурной теоремы Хирцебруха на многообразия с краем. Название происходит от того факта, что это обобщение эта-функции Дирихле .

Позже они также использовали эта-инвариант самосопряженного оператора для определения эта-инварианта компактного нечетномерного гладкого многообразия.

Майкл Фрэнсис Атья , Х. Доннелли и И. М. Сингер ( 1983 )определил дефект сигнатуры границы многообразия как эта-инвариант и использовал его, чтобы показать, что дефект сигнатуры Хирцебруха возврата гильбертовой модулярной поверхности может быть выражен через значение в s = 0 или 1 симидзу L -функция .

Определение

Эта-инвариант самосопряженного оператора A равен η _A (0), где η — аналитическое продолжение

$\eta (s)=\sum _{\lambda \neq 0}{\frac {\operatorname {sign} (\lambda )}{|\lambda |^{s}}}$

и сумма ведется по ненулевым собственным значениям λ оператора A .

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Патоди, В.К.; Сингер, IM (1973), «Спектральная асимметрия и риманова геометрия», Бюллетень Лондонского математического общества , 5 (2): 229–234, CiteSeerX   10.1.1.597.6432 , doi : 10.1112/blms/5.2.229 , ISSN   0024-6093 , МР   0331443
• Атья, Майкл Фрэнсис ; Патоди, В.К.; Сингер, И.М. (1975), «Спектральная асимметрия и риманова геометрия. I», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 77 (1): 43–69, Bibcode : 1975MPCPS..77...43A , doi : 10.1017/S0305004100049410 , ISSN   0305-0041 , MR   0397797 , S2CID   17638224
• Атья, Майкл Фрэнсис ; Доннелли, Х.; Сингер, И.М. (1983), «Эта-инварианты, сигнатурные дефекты точек возврата и значения L-функций», Annals of Mathematics , Second Series, 118 (1): 131–177, doi : 10.2307/2006957 , ISSN   0003-486X , JSTOR   2006957 , МР   0707164