Неравенство Гриффитса

В статистической механике , неравенство Гриффитса иногда также называемое неравенством Гриффитс -Келли -Шерман или неравенство GKS , названное в честь Роберта Б. Гриффитса , является корреляционным неравенством для ферромагнитных спиновых систем. Неофициально, в нем говорится, что в ферромагнитных спиновых системах, если «распределение A-priori» вращения является инвариантным при перевороте спина, корреляция любого монома спинов неотрицательно; и две точечные корреляции двух мономов спинов не подлежат негативной.

Неравенство было доказано Гриффитсом для Ising Ferromagnets с взаимодействием с двумя телами, Затем генерализовано Келли и Шерманом для взаимодействия, включающих произвольное количество спинов, а затем Гриффитсом в системы с произвольными спинами. дал более общую Гинибре формулировку и теперь называется неравенством Джинибра .

Определения

Позволять $\textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }$ быть конфигурацией (непрерывной или дискретной) вращения на решетке λ . Если ⊂ пусть λ - список решетки, возможно, с дубликатами, $\textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{j}$ продуктом вращений в . быть

Назначьте A-priori меру Dμ (σ) на спины; Пусть H будет энергией функционала формы

$H(\sigma )=-\sum _{A}J_{A}\sigma _{A}~,$

где сумма превышает списки сайтов и пусть

$Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}$

быть функцией разделения . По-прежнему,

$\langle f\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }f(\sigma )e^{-H(\sigma )}$

означает средний ансамбль .

Система называется ферромагнитной , если для любого списка сайтов a , j _a ≥ 0 . Система называется инвариантом под спин -переключением , если для любого j в λ мера μ сохраняется под знаком переворачивания σ → τ , где

$\tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}$

Заявление о неравенстве

Первое неравенство Гриффитса

В ферромагнитной спиновой системе, которая инвариантна под спин

$\langle \sigma _{A}\rangle \geq 0$

Для любого списка вращений а .

Второе неравенство Гриффитса

В ферромагнитной спиновой системе, которая инвариантна под спин

$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle$

Для любых списков спинов A и b .

Первое неравенство - это особый случай второго, соответствующий b = ∅.

Доказательство

Обратите внимание, что функция разделения неотрицательной по определению.

Доказательство первого неравенства : расширить

$e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k}}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,$

затем

${\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\end{aligned}}$

где n _a (j) означает количество раз, что появляется в . J Теперь инвариантностью под спин

$\int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0$

Если по крайней мере один n (j) является нечетным, и то же выражение явно нетрицательное для даже значений n . Следовательно, z < σ _a > ≥0, следовательно, также < σ _a > ≥0.

Доказательство второго неравенства . Для второго неравенства Гриффитса, удваивающую случайную величину, то есть рассмотрим вторую копию спина, $\sigma '$, с тем же распределением $\sigma$Полем Затем

$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.$

Ввести новые переменные

$\sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}'~.$

Удвоенная система $\langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle$ Ферромагнитный в $\tau ,\tau '$ потому что $-H(\sigma )-H(\sigma ')$ является полиномом в $\tau ,\tau '$ с положительными коэффициентами

${\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}$

Помимо меры на $\tau ,\tau '$ инвариантно под переворот, потому что $d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')$ является. Наконец монома $\sigma _{A}$, $\sigma _{B}-\sigma '_{B}$ являются полиномами в $\tau ,\tau '$ с положительными коэффициентами

${\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}$

Первое неравенство Гриффитса применяется к $\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle$ дает результат.

Более подробная информация в и.

Расширение: неравенство Джинибра

является Неравенство в Джинибре расширением, найденным Жан Джинибром, неравенства Гриффитов.

Формулировка

Пусть (γ, μ ) было пространством вероятности . Для функций f , h на γ, обозначают

$\langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).$

Пусть A будет набором реальных функций на γ, так что. Для каждого f ₁ , f ₂ , ..., f _n в а и для любого выбора признаков ±,

$\iint d\mu (x)\,d\mu (y)\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.$

Затем для любого f , g , - h в выпуклом конусе генерируемом , ,

$\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.$

Доказательство

Позволять

$Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).$

Затем

${\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right)\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y)}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y)){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}$

Теперь неравенство следует из предположения и от идентичности

$f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y)).$

Примеры

• Чтобы восстановить (второе) неравенство Гриффитса, возьмите γ = {−1, +1} ^Л , где λ - решетка, и пусть μ является мерой на γ, которая является инвариантным под переворот знака. Конус полиномов с положительными коэффициентами удовлетворяет предположениям о неравенстве Джинибра.
• (Γ, μ ) является коммутативной компактной группой с мерой HAAR , A - конус реальных положительных определенных функций на γ.
• Γ-это полностью упорядоченный набор , a -конус реальных положительных не декоративных функций на γ. Это дает неравенство Чебишева . Расширение на частично упорядоченные наборы см. В неравенстве FKG .

Приложения

• Существует термодинамический предел корреляций ферромагнитной модели (с неотрицательным внешним полем H и свободными граничными условиями).

что увеличение громкости совпадает с включением новых муфт J _B для определенного подмножества B. Это связано с тем , Ко второму неравенству Гриффитов

${\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0$

Следовательно $\langle \sigma _{A}\rangle$ монотонно увеличивается с объемом; Затем он сходится, так как он ограничен 1.

• Одномерная, ферромагнитная модель с взаимодействиями $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ отображает фазовый переход, если $1<\alpha <2$.

Это свойство может быть показано в иерархическом приближении, которое отличается от полной модели в результате отсутствия некоторых взаимодействий: спорить, как указано выше со вторым неравенством Гриффитса, результаты несут над полной моделью.

• Неравенство в джинибре обеспечивает существование термодинамического предела для свободной энергии и спиновой корреляции для двумерной классической модели XY . Кроме того, благодаря неравенству Джинибра Кунз и Пфистер доказали наличие фазового перехода для ферромагнитной модели XY с взаимодействием $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ если $2<\alpha <4$.
• Айзенман и Саймон Использовал неравенство в джинибре, чтобы доказать, что две точечные спиновые корреляцию ферромагнитной классической модели XY в измерении $D$, соединение $J>0$ и обратная температура $\beta$ Доминирует (т.е. имеет верхнюю границу, заданную) , двухточечная корреляция ферромагнитной модели в измерении $D$, соединение $J>0$и обратная температура $\beta /2$

$\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }$

Отсюда и критическое $\beta$ модели XY не может быть меньше двойной критической температуры модели ISING

$\beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;$

В измерении D = 2 и соединении j = 1, это дает

$\beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.$

• Существует версия неравенства джинибра для кулоновского газа , которая подразумевает существование термодинамического предела корреляций.
• Другие приложения ( фазовые переходы в спиновых системах, модель XY, xyz Quantum Chain) рассмотрены.