скобка Схоутена – Нийенхейса

В дифференциальной геометрии скобка Схоутена-Нийенхейса , также известная как скобка Схоутена , представляет собой тип градуированной скобки Ли, определенной на мультивекторных полях на гладком многообразии, расширяющем скобку Ли векторных полей . Существуют две разные версии, обе довольно запутанно названы одним и тем же именем. Наиболее распространенная версия определена на знакопеременных мультивекторных полях и превращает их в алгебру Герстенхабера , но существует также другая версия, определенная на симметричных мультивекторных полях, которая более или менее совпадает со скобкой Пуассона на кокасательном расслоении . Его изобрел Ян Арнольдус Схоутен (1940, 1953), а его свойства исследовал его ученик Альберт Ниенхейс (1955). Она связана со скобками Нейенхейса-Ричардсона и скобками Фрелихера-Нийенхейса, но не совпадает с ними .

Определение и свойства

Переменное многовекторное поле — это сечение внешней алгебры ∧ ^∗ TM M над расслоением многообразия . касательным Переменные мультивекторные поля образуют градуированное суперкоммутативное кольцо с произведением a и b, записанным как ab (некоторые авторы используют a ∧ b ). Это двойственно обычной алгебре дифференциальных форм Ω ^∗ M путем спаривания однородных элементов:

$\omega (a_{1}a_{2}\dots a_{p})=\left\{{\begin{matrix}\omega (a_{1},\dots ,a_{p})&(\omega \in \Omega ^{p}M)\\0&(\omega \not \in \Omega ^{p}M)\end{matrix}}\right.$

Степень ​ мультивектора A в $\Lambda ^{p}TM$ определяется как | А | = п .

Кососимметричная скобка Схоутена–Нейенхейса — это уникальное расширение скобки Ли векторных полей до градуированной скобки в пространстве знакопеременных мультивекторных полей, которое превращает знакопеременные мультивекторные поля в алгебру Герстенхабера .Он задается через скобку Ли векторных полей формулой

$[a_{1}\cdots a_{m},b_{1}\cdots b_{n}]=\sum _{i,j}(-1)^{i+j}[a_{i},b_{j}]a_{1}\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{m}b_{1}\cdots b_{j-1}b_{j+1}\cdots b_{n}$

для векторных полей a _i , b _j и

$[f,a_{1}\cdots a_{m}]=-\iota _{df}(a_{1}\cdots a_{m})$

для векторных полей $a_{i}$ и плавная функция $f$, где $\iota _{df}$ является общим оператором внутренней продукции . Он имеет следующие свойства.

• ( ab ) c = a ( bc ) (произведение ассоциативно)
• аб = (−1) ^{| а || б |} ба (произведение (супер)коммутативно)
• | аб | = | а | + | б | (Продукт имеет степень 0)
• |[ а , б ]| = | а | + | б | − 1 (скобка Схоутена–Нийенхейса имеет степень −1)
• [ а , bc ] знак равно [ а , б ] c + (−1) ^{| б |(| а | − 1)} b [ a , c ] (тождество Пуассона)
• [ а , б ] знак равно -(-1) ^{(| а | - 1)(| б | - 1)} [ b , a ] (Антисимметрия скобки Схоутена–Нийенхейса)
• [[ а , б ], c ] = [ а ,[ б , c ]] - (-1) ^{(| а | - 1)(| б | - 1)} [ b ,[ a , c ]] (тождество Якоби для скобки Схоутена – Нийенхейса)
• Если f и g — функции (однородные мультивекторы степени 0), то [ f , g ] = 0.
• Если a — векторное поле, то [ a , b ] = L _a b — обычная производная Ли мультивекторного поля b вдоль a , и, в частности, если a и b — векторные поля, то скобка Схоутена – Нийенхейса является обычной скобкой Ли. скобка векторных полей.

Скобка Схоутена–Нейенхейса превращает мультивекторные поля в супералгебру Ли, если градуировка заменяется на подпространство противоположной четности (так что четное и нечетное подпространства меняются местами), хотяс этой новой градуировкой оно больше не является суперкоммутативным кольцом. Соответственно тождество Якоби может быть выражено и в симметричной форме

$(-1)^{(|a|-1)(|c|-1)}[a,[b,c]]+(-1)^{(|b|-1)(|a|-1)}[b,[c,a]]+(-1)^{(|c|-1)(|b|-1)}[c,[a,b]]=0.\,$

Обобщения

Существует общее обобщение скобки Схоутена–Нийенхейса для знакопеременных многовекторных полей и скобки Фрелихера–Нийенхейса, предложенное Виноградовым (1990).

Аналогичным образом можно определить вариант скобки Схоутена–Нейенхейса и для симметричных многовекторных полей. Симметричные мультивекторные поля можно отождествить с функциями в кокасательном пространстве T ^* ( M ) из M , полиномиальных в слое, и при этом отождествлении симметричная скобка Схоутена–Нийенхейса соответствует скобке Пуассона функций на симплектическом многообразии T ^* ( М ).Существует общее обобщение скобки Схоутена – Нийенхейса для симметричных многовекторных полей и скобки Фрелихера – Нийенхейса, предложенное Дюбуа-Виолеттом и Питером В. Микором (1995).

Ссылки

• Дюбуа-Виолетт, Мишель; Михор, Питер В. (1995). «Общее обобщение скобки Фрелихера – Ниенхейса и скобки Схоутена для симметричных многовекторных полей». Индаг. Математика . 6 (1): 51–66. arXiv : alg-geom/9401006 . дои : 10.1016/0019-3577(95)98200-у .
• Марль, Шарль-Мишель (1997). «Кронштейн Schouten-Nijenhuis и изделия для интерьера» (PDF) . Журнал геометрии и физики . 23 (3–4): 350–359. Бибкод : 1997JGP....23..350M . CiteSeerX   10.1.1.27.5358 . дои : 10.1016/s0393-0440(97)80009-5 .
• Нийенхейс, А. (1955). «Тождества типа Якоби для билинейных дифференциальных сопутствующих некоторых тензорных полей I». Indagationes Mathematicae . 17 : 390–403. дои : 10.1016/S1385-7258(55)50054-0 . hdl : 10338.dmlcz/102420 .
• Схаутен, Дж. А. (1940). «О дифференциальном сопутствующем двух контравариантных величинах». Индаг. Математика . 2 : 449-452.
• Схоутен, Дж. А. (1953). «О дифференциальных операторах первого порядка в тензорном исчислении». На кремонском языке (ред.). Convegno Int. Геом. Диф. Италия . стр. 1–7.
• Виноградов, А.М. (1990). «Объединение скобок Схоутена – Нейенхейса и Фрелихера – Нейенхейса, когомологий и супердифференциальных операторов». Сов. Математика. Заметки . 47 .

Внешние ссылки

• Никола Чикколи Скобка Схоутена – Нийенхейса в примечаниях к книге «От Пуассона к квантовой геометрии»