Гомотетические предпочтения

В теории потребления предпочтения потребителя называются гомотетическими , если они могут быть представлены функцией полезности степени , однородной 1. Например, в экономике с двумя товарами $x,y$гомотетические предпочтения могут быть представлены функцией полезности $u$ обладающий следующим свойством: для каждого $a>0$:

$u(a\cdot x,a\cdot y)=a\cdot u(x,y)$

В математике гомотетическая функция — это монотонное преобразование функции однородной ; однако, поскольку порядковые функции полезности определяются только с точностью до возрастающего монотонного преобразования , между этими двумя концепциями в теории потребителя есть небольшое различие.

В модели, где конкурирующие потребители оптимизируют гомотетические функции полезности при условии бюджетного ограничения , соотношение товаров, требуемых потребителями, будет зависеть только от относительных цен , а не от дохода или масштаба. Это приводит к линейному расширению дохода: наклон кривых безразличия постоянен вдоль лучей, начинающихся в начале координат. Другими словами, кривая Энгеля для каждого товара является линейной.

Более того, косвенную функцию полезности можно записать как линейную функцию богатства. $w$:

$v(p_{x},p_{y},w)=f(p_{x},p_{y})\cdot w$

что является частным случаем полярной формы Гормана . Следовательно, если все потребители имеют одинаковые предпочтения (с одинаковым коэффициентом при показателе богатства), совокупный спрос можно рассчитать, рассматривая одного «репрезентативного потребителя», который имеет одинаковые предпочтения и одинаковый совокупный доход.

Примеры

Функции полезности, имеющие постоянную эластичность замещения (CES), гомотетичны. Они могут быть представлены функцией полезности, например:

$u(x,y)=\left(\left({x \over w_{x}}\right)^{\!r}+\left({y \over w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}$

Эта функция однородна степени 1:

$u(ax,ay)=\left(a^{r}\left({x \over w_{x}}\right)^{\!r}+a^{r}\left({y \over w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}=(a^{r})^{1/r}\left(\left({x \over w_{x}}\right)^{\!r}+\left({y \over w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}=au(x,y)$

Линейные полезности , полезности Леонтьева и полезности Кобба-Дугласа являются частными случаями функций CES и, следовательно, также гомотетичны.

С другой стороны, квазилинейные полезности не всегда гомотетичны. Например, функция $u(x,y)=x+{\sqrt {y}}$ не может быть представлена ​​как однородная функция.

Внутривременные и межвременные гомотетические предпочтения

Предпочтения являются внутривременными гомотетическими, если в один и тот же период времени потребители с разными доходами, но сталкивающиеся с одинаковыми ценами и имеющие одинаковые предпочтения, будут требовать товары в одних и тех же пропорциях.

Предпочтения являются межвременными гомотетическими, если в разные периоды времени богатые и бедные лица, принимающие решения, одинаково не склонны к пропорциональным колебаниям потребления.

Модели современной макроэкономики и государственных финансов часто принимают форму постоянного относительного неприятия риска для внутрипериодной полезности (также называемой энергетической полезностью или изоэластичной полезностью ). Причина в том, что в сочетании с аддитивностью во времени это дает гомотетические межвременные предпочтения, и эта гомотетичность имеет значительное аналитическое удобство (например, она позволяет анализировать устойчивые состояния в моделях роста). Эти предположения подразумевают, что эластичность межвременного замещения и обратный ей коэффициент неприятия (риска) постоянны.

Доказательство

Однако хорошо известно, что в действительности модели потребления меняются с ростом экономического благосостояния. Это означает, что предпочтения на самом деле не гомотетичны. Давно установлено, что относительные изменения цен по-разному влияют на людей, даже если все они сталкиваются с одним и тем же набором цен.

См. также

• Гомотетическое преобразование
• Гомогенная функция