Эффект Пула – Френкеля

В физике твердого тела эффект Пула-Френкеля (также известный как эмиссия Френкеля-Пула) ) — модель, описывающая механизм транспорта электронов с помощью ловушки в электрическом изоляторе . Он назван в честь Якова Френкеля , опубликовавшего о нем в 1938 году расширяя теорию, ранее разработанную Х. Х. Пулом.

Электроны могут медленно перемещаться через изолятор посредством следующего процесса. Электроны обычно находятся в локализованных состояниях (грубо говоря, они «приклеены» к одному атому и не могут свободно перемещаться по кристаллу). Иногда случайные тепловые флуктуации дают электрону достаточно энергии, чтобы покинуть локализованное состояние и переместиться в зону проводимости . Оказавшись там, электрон может двигаться через кристалл в течение короткого промежутка времени, прежде чем расслабиться в другое локализованное состояние (другими словами, «прилипнуть» к другому атому). Эффект Пула-Френкеля описывает, как в сильном электрическом поле электрону не требуется столько тепловой энергии для продвижения в зону проводимости (поскольку часть этой энергии возникает в результате притяжения электрическим полем), поэтому он не нуждаются в таких больших температурных колебаниях и смогут перемещаться чаще. С теоретической точки зрения эффект Пула-Френкеля сравним с эффектом Шоттки , который представляет собой понижение энергетического барьера металл-изолятор из-за электростатического взаимодействия с электрическим полем на границе раздела металл-изолятор. Однако проводимость, возникающая за счет эффекта Пула-Френкеля, обнаруживается при наличии объемно-ограниченной проводимости (когда процесс предельной проводимости происходит в объеме материала), а ток Шоттки наблюдается при контактно-ограниченной проводимости (когда механизм предельной проводимости возникает на границе раздела металл-изолятор).

Уравнение Пула – Френкеля

Эффект Пула – Френкеля для кулоновской потенциальной ямы в присутствии приложенного электрического поля.

Энергетическая зонная диаграмма излучения Пула – Френкеля.

Электропроводность ​ $\sigma$ диэлектриков в присутствии сильных электрических и полупроводников полей (более $10^{5}V/cm$ для изоляторов и до $10^{3}V/cm$ для полупроводников) возрастает примерно так, как описано законом Пула (что в конечном итоге приводит к электрическому пробою ):

$\sigma =\sigma _{0}\exp {(\alpha E)}$

где

$\sigma _{0}$ - электропроводность в нулевом поле

$\alpha$ является константой

E — приложенное электрическое поле .

В этой модели предполагается, что проводимость осуществляется системой свободных электронов, движущейся в самосогласованном периодическом потенциале. Напротив, Френкель вывел свою формулу, описывающую диэлектрик (или полупроводник) как просто состоящий из нейтральных атомов, действующих как положительно заряженные состояния-ловушки (когда они пусты, т. е. когда атомы ионизированы). Для локализованных состояний ловушки с кулоновским потенциалом высота барьера, который должен пересечь электрон, чтобы переместиться от одного атома к другому, равна глубине потенциальной ямы ловушки. Без какого-либо внешнего электрического поля максимальное значение потенциала равно нулю и находится на бесконечном расстоянии от центра ловушки. При приложении внешнего электрического поля высота потенциального барьера уменьшается с одной стороны ловушки на величину

$\Delta U=qEr_{0}+{\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon r_{0}}}$

где:

q — элементарный заряд

$\epsilon$ – динамическая диэлектрическая проницаемость .

Первый вклад обусловлен приложенным электрическим полем, второй — электростатическим притяжением между местом ионной ловушки и электроном проводимости. Потенциал теперь имеет максимум на расстоянии $r_{0}$ из центра кулоновской ловушки, определяемого формулой $q^{2}/(4\pi \epsilon r_{0}^{2})=qE$. Поэтому $r_{0}={\sqrt {q/(4\pi \epsilon E)}}$ и

$\Delta U=qE{\sqrt {\frac {q}{4\pi \epsilon E}}}+{\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon }}{\sqrt {\frac {4\pi \epsilon E}{q}}}=2{\sqrt {\frac {q^{3}E}{4\pi \epsilon }}}={\sqrt {\frac {q^{3}E}{\pi \epsilon }}}$.

Это выражение аналогично полученному для эффекта Шоттки . Множитель 2 в показателе степени, который делает уменьшение барьера при эффекте Пула-Френкеля вдвое большим, чем при эффекте Шоттки, обусловлен взаимодействием термически возбужденного электрона с неподвижным положительным зарядом иона, действующего как ловушка. центром, а не с его подвижным зарядом-изображением, индуцированным в металле на границе Шоттки. Теперь, если без приложенного электрического поля число термически ионизованных электронов пропорционально

$\exp \left({\frac {-q\phi _{B}}{k_{B}T}}\right)$

где:

$\phi _{B}$ это барьер напряжения (в нулевом приложенном электрическом поле), который должен пересечь электрон, чтобы перейти от одного атома к другому в материале.

$k_{B}$ — постоянная Больцмана

Т — температура

тогда при наличии внешнего электрического поля электропроводность будет пропорциональна

$\exp \left({\frac {-q\left(\phi _{B}-{\sqrt {qE/(\pi \epsilon )}}\ \right)}{k_{B}T}}\right)$

таким образом получив

$\sigma =\sigma _{0}\exp \left({\frac {q{\sqrt {qE/(\pi \epsilon )}}}{k_{B}T}}\right)$

отличается от закона Пула зависимостью от $E$. Принимая все во внимание (как частоту, с которой электроны попадают в зону проводимости, так и их движение, когда они там находятся) и предполагая независимую от поля подвижность электронов, стандартное количественное выражение для тока Пула – Френкеля имеет вид:

$J\propto E\exp \left({\frac {-q\left(\phi _{B}-{\sqrt {qE/(\pi \epsilon )}}\ \right)}{k_{B}T}}\right)$

где J — плотность тока . Если сделать явными зависимости от приложенного напряжения и температуры, то выражение будет выглядеть следующим образом:

$J\propto V\exp \left({\frac {q}{k_{B}T}}\left(2{\sqrt {qV/(4\pi \epsilon d)}}-\phi _{B}\right)\right)$

где d – толщина диэлектрика. Для данного диэлектрика в разных диапазонах напряжений и температур могут доминировать разные процессы проводимости.

Для таких материалов, как Si ₃ N ₄ , Al ₂ O ₃ и SiO ₂ , при высоких температурах и режимах сильного поля ток J , вероятно, обусловлен эмиссией Пула-Френкеля. Обнаружение эмиссии Пула-Френкеля как предельного процесса проводимости в диэлектрике обычно производится путем изучения наклона так называемого графика Пула-Френкеля, где логарифм плотности тока, деленный на поле ( $ln(J/E)$) от квадратного корня из поля ( ${\sqrt {E}}$) изображено. Идея такого графика исходит из выражения плотности тока Пула-Френкеля, которое содержит эту пропорциональность ( $ln(J/E)$ против ${\sqrt {E}}$), и, таким образом, на этом графике получится прямая линия. При фиксированном значении барьера напряжения в отсутствие какого-либо приложенного электрического поля на наклон влияет только один параметр: диэлектрическая проницаемость. Несмотря на ту же функциональную зависимость плотности тока от напряженности электрического поля, можно различить проводимость Пула-Френкеля и проводимость Шоттки, поскольку они приведут к появлению прямых линий с разными наклонами на графике Пула-Френкеля. Теоретические наклоны можно оценить, зная высокочастотную диэлектрическую проницаемость материала ( $\kappa =\epsilon /\epsilon _{0}$, где $\epsilon _{0}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума ) и сравниваем их с наклонами, обнаруженными экспериментально. В качестве альтернативы можно оценить значение $\kappa$ приравнивание теоретических наклонов к экспериментально обнаруженным, при условии, что известно, является ли проводимость ограниченной электродом или объемом. Тогда такое значение высокочастотной диэлектрической проницаемости должно соответствовать соотношению $\kappa =n^{2}$, где $n$ – показатель преломления материала.

Улучшенные модели Пула – Френкеля

Хотя со времени классической работы Френкеля по этой теме был достигнут значительный прогресс, Формула Пула-Френкеля широко использовалась для интерпретации нескольких неомических экспериментальных токов, наблюдаемых в диэлектриках, а также в полупроводниках. Дебаты по поводу основных предположений классической модели Пула-Френкеля дали жизнь нескольким улучшенным моделям Пула-Френкеля. Эти гипотезы представлены ниже.

Рассматривается только электронная (одноносительная) проводимость, предполагающая наличие омических контактов , способных пополнять захваченные электроны на электродах, а эффектами пространственного заряда пренебрегают, предполагая, что поле однородно. Пересмотр этого последнего предположения можно найти, например, в «теории тока, ограниченного пространственным зарядом, усиленном эффектом Френкеля», разработанной Мургатройдом.

Предполагается, что подвижность носителей не зависит от поля. Пренебрегая всеми видами диффузионного процесса для освобожденных носителей, таким образом, предэкспоненциальный множитель в формуле Пула – Френкеля пропорционален $E$. Такое изображение подходило бы для описания проводимости как в диэлектриках, так и в полупроводниках. Однако эффект Пула-Френкеля, вероятно, будет наблюдаться только в материалах, характеризующихся низкими значениями подвижности, поскольку в твердых телах с высокой подвижностью повторный захват носителей будет постепенно ингибироваться из-за истощения носителей. Тем не менее, можно найти различные зависимости предэкспоненциального множителя от поля: если предположить, что носители могут быть перезахвачены, то пропорциональность $E^{-1/2}$ или $E^{1/2}$ получается в зависимости от перезахвата электрона ближайшей соседней ловушкой или после дрейфа. Более того, предэкспоненциальный множитель, пропорциональный $E^{1/2}$ оказывается результатом случайных диффузионных процессов, в то время как зависимости от $E^{-3/2}$ и $E^{-3/4}$ оказываются результатом процессов прыжкового и диффузионного транспорта соответственно.

В классической теории Пула–Френкеля предполагается потенциал кулоновской ловушки, но рассматриваются также более крутые потенциалы, принадлежащие мультиполярным дефектам или экранированные водородные потенциалы.

Что касается типологии ловушек, то описано, что эффект Пула-Френкеля возникает для положительно заряженных мест ловушки, то есть для ловушек, которые положительны, когда пусты, и нейтральны, когда заполнены, чтобы электрон мог испытывать кулоновский потенциальный барьер из-за взаимодействия с ловушками. положительно заряженная ловушка. Доноры или акцепторы и электроны в валентной зоне также будут проявлять эффект Пула – Френкеля. Напротив, нейтральный участок ловушки, то есть участок, который является нейтральным, когда он пуст, и заряженным (отрицательно для электронов) при заполнении, не будет проявлять эффект Пула – Френкеля. Среди прочего, Симмонс предложил альтернативу классической модели с мелкими нейтральными ловушками и глубокими донорами, способную демонстрировать объемно-ограниченную проводимость с зависимостью от электрического поля Шоттки даже при наличии механизма проводимости Пула-Френкеля, объясняя тем самым «аномальный эффект Пула-Френкеля», обнаруженный на пленках Ta ₂ O ₅ и SiO. Существуют модели, которые учитывают наличие как донорных, так и акцепторных ловушек в ситуации, называемой компенсацией ловушек . Модель Йергана и Тейлора, например, расширяет классическую теорию Пула-Френкеля, включая различные степени компенсации: когда рассматривается только один вид ловушек, наклон кривой на графике Пула-Френкеля воспроизводит наклон, полученный из эмиссии Шоттки, несмотря на то, что снижение барьера в два раза превышает эффект Шоттки; наклон в два раза больше при наличии компенсации.

В качестве дальнейшего предположения предполагается единый энергетический уровень ловушек. Однако обсуждается существование дополнительных донорных уровней, даже если предполагается, что они полностью заполнены для каждого поля и температурного режима и, таким образом, не доставляют никаких носителей проводимости (это эквивалентно утверждению, что дополнительные донорные уровни расположены значительно ниже уровень Ферми ).

Уравнение Хартке

Расчет уменьшения глубины ловушки является одномерным расчетом, что приводит к завышению оценки эффективного понижения барьера. Фактически только в направлении внешнего электрического поля высота потенциальной ямы снижается на величину, оцененную согласно выражению Пула–Френкеля. Более точный расчет выполнил Хартке. усреднение вероятностей эмиссии электронов по любому направлению показывает, что рост концентрации свободных носителей примерно на порядок меньше, чем предсказывает уравнение Пула–Френкеля. Уравнение Хартке эквивалентно

$J\propto E\exp \left({\frac {-q\phi _{B}}{k_{B}T}}\right)\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\beta ^{2}E}}\left(1+\left(\beta {\sqrt {E}}-1\right)\exp(\beta {\sqrt {E}})\right)\right)$

где

$\beta ={\frac {q}{k_{B}T}}{\sqrt {\frac {q}{\pi \epsilon }}}$.

С теоретической точки зрения выражение Хартке следует предпочесть уравнению Пула–Френкеля, поскольку учитывается трехмерность задачи понижения ловушечного барьера. Были разработаны дополнительные трехмерные модели, различающиеся по способу обработки процесса выбросов в наветренном направлении. Иеда, Сава и Като, например, предложили модель, включающую изменение барьера в направлениях как вперед, так и против электрического поля.

Насыщение Пула – Френкеля

Насыщение Пула-Френкеля происходит, когда все ловушки ионизируются, что приводит к максимальному количеству носителей проводимости. Соответствующее поле насыщения получается из выражения, описывающего исчезновение барьера:

$\phi _{B}-{\sqrt {\frac {qE_{s}}{\pi \epsilon }}}=0$

где $E_{s}$ – поле насыщения. Таким образом

$E_{s}={\frac {\pi \epsilon {\phi _{B}}^{2}}{q}}$.

Ловушки теперь обязательно пусты, поскольку находятся на краю зоны проводимости . Тот факт, что эффект Пула-Френкеля описывается выражением для проводимости (и тока), которое расходится с увеличением поля и не испытывает насыщения, объясняется упрощающим предположением, что заселенность ловушек подчиняется Максвелла-Больцмана. статистике . Усовершенствованная модель Пула-Френкеля, обеспечивающая более точное описание статистики ловушек с помощью формулы Ферми-Дирака и способная количественно представлять насыщение, была разработана Онгаро и Пиллонне.

Транспорт Пула – Френкеля в электронных запоминающих устройствах.

Во флэш-памяти с ловушкой заряда заряд сохраняется в улавливающем материале, обычно в слое нитрида кремния, когда ток протекает через диэлектрик. В процессе программирования электроны испускаются из подложки в сторону улавливающего слоя из-за большого положительного смещения, приложенного к затвору. Транспорт тока является результатом двух различных механизмов проводимости, которые следует рассматривать последовательно: ток через оксид осуществляется туннельным способом, механизм проводимости через нитрид представляет собой транспорт Пула-Френкеля. Туннельный ток описывается модифицированным уравнением туннелирования Фаулера-Нордгейма , т.е. уравнением туннелирования, учитывающим, что форма туннельного барьера не треугольная (как предполагалось при выводе формулы Фаулера-Нордгейма), а состоит из ряда трапециевидный барьер в оксиде и треугольный барьер в нитриде. Процесс Пула-Френкеля представляет собой ограничивающий механизм проводимости в начале режима программирования памяти из-за более высокого тока, обеспечиваемого туннелированием. Когда заряд захваченного электрона увеличивается и начинает экранировать поле, модифицированное туннелирование Фаулера-Нордгейма становится ограничивающим процессом. Плотность захваченного заряда на границе раздела оксид-нитрид пропорциональна интегралу тока Пула-Френкеля, протекающего через нее. С увеличением количества циклов записи и стирания памяти характеристики удержания ухудшаются из-за увеличения объемной проводимости в нитриде.

См. также

• Эффект Шоттки
• Вспышка ловушки заряда
• Электрический пробой
• Диэлектрики