Кинетический Монте-Карло

Кинетический Монте-Карло (КМК) метод представляет собой компьютерное моделирование метода Монте-Карло, предназначенное для моделирования временной эволюции некоторых процессов, происходящих в природе. Обычно это процессы, которые происходят с известной скоростью перехода между состояниями. Эти ставки являются входными данными для алгоритма KMC; сам метод не может их предсказать.

Метод КМК по сути аналогичен динамическому методу Монте-Карло и алгоритму Гиллеспи .

Алгоритмы

Одна из возможных классификаций алгоритмов KMC - это KMC с отклонением (rKMC) и KMC без отклонения (rfKMC).

КМК без отказов

Алгоритм rfKMC, часто называемый только KMC, для моделирования эволюции системы во времени, в которой некоторые процессы могут происходить с известными скоростями r, можно записать, например, следующим образом: ^[1]^: 13–14

Установите время $t=0$ .
Выберите начальное состояние k .
Формируем список всех $N_{k}$ возможные скорости перехода в системе $r_{ki}$ , из состояния k в общее состояние i . Состояния, которые не связываются с k, будут иметь $r_{ki}=0$ .
Вычислить кумулятивную функцию $R_{ki}=\sum _{j=1}^{i}r_{kj}$ для $i=1,\ldots ,N_{k}$ . Общая ставка составляет $Q_{k}=R_{k,N_{k}}$ .
Получить однородное случайное число $u\in (0,1]$ .
Найдите событие, которое должно выполнить i, найдя i, для которого $R_{k,i-1}<uQ_{k}\leq R_{ki}$ (этого можно эффективно достичь с помощью двоичного поиска ).
Выполнить событие i (обновить текущее состояние $k\rightarrow i$ ).
Получить новое равномерное случайное число $u^{\prime }\in (0,1]$ .
Обновите время с помощью $t=t+\Delta t$ , где $\Delta t=Q_{k}^{-1}\ln(1/u^{\prime })$ . Обратите внимание, что этот временной интервал представляет собой время, прошедшее между предыдущим событием и этим, а не временной интервал между этим событием и следующим. ^[1]^: 17–18
Вернитесь к шагу 3.

(Примечание: поскольку среднее значение $\ln(1/u^{\prime })$ равен единице, тот же средний масштаб времени можно получить, используя вместо этого $\Delta t=Q_{k}^{-1}$ на шаге 9. Однако в этом случае задержка, связанная с переходом i, не будет взята из распределения Пуассона, описываемого скоростью $Q_{k}$ , но вместо этого будет средним значением этого распределения. ^{[ нужна ссылка ]})

Этот алгоритм известен в разных источниках под разными названиями: алгоритм времени пребывания , n -кратный способ или алгоритм Борца-Калоса-Лебовица (BKL) . Важно отметить, что рассматриваемый временной шаг является функцией вероятности того, что все события i не произошли. ^[1]^: 13–14

Отказ от КМК

Отклонение KMC обычно имеет преимущество более простой обработки данных и более быстрых вычислений для каждого предпринятого шага, поскольку получение всех данных требует много времени. $r_{ki}$ не нужен.С другой стороны, время, выделяющееся на каждом шаге, меньше, чем для rfKMC. Относительный вес плюсов и минусов варьируется в зависимости от конкретного случая и имеющихся ресурсов.

rKMC, связанный с теми же скоростями перехода, что и выше, можно записать следующим образом:

Установите время $t=0$ .
Выберите начальное состояние k .
Получить номер $N_{k}$ всех возможных скоростей перехода из состояния k в общее состояние i .
Найдите событие -кандидат для выполнения i путем равномерной выборки из $N_{k}$ переходы выше.
Примите событие с вероятностью $f_{ki}=r_{ki}/r_{0}$ , где $r_{0}$ является подходящей верхней границей для $r_{ki}$ . Зачастую легко найти $r_{0}$ без необходимости вычислять все $r_{ki}$ (например, для вероятности перехода в мегаполисе).
Если принято, выполните событие i (обновите текущее состояние $k\rightarrow i$ ).
Получить новое равномерное случайное число $u^{\prime }\in (0,1]$ .
Обновите время с помощью $t=t+\Delta t$ , где $\Delta t=(N_{k}r_{0})^{-1}\ln(1/u^{\prime })$ .
Вернитесь к шагу 3.

(Примечание: $r_{0}$ может переходить от одного шага MC к другому.)Этот алгоритм обычно называют стандартным алгоритмом .

Теоретический ^[2] и числовые ^[1]^[3] было проведено сравнение алгоритмов.

Временные алгоритмы

Если ставки $r_{ki}(t)$ зависят от времени, шаг 9 в rfKMC должен быть изменен следующим образом: ^[4]

\int _{0}^{\Delta t}Q_{k}(t')dt'=\ln(1/u^{\prime })

.

После этого необходимо выбрать реакцию (шаг 6)

R_{k,i-1}(\Delta t)<uQ_{k}(\Delta t)\leq R_{ki}(\Delta t)

Другой очень похожий алгоритм называется методом первой реакции (FRM). Он заключается в выборе первой возникшей реакции, то есть выборе наименьшего времени. $\Delta t_{i}$ , и соответствующий номер реакции i по формуле

\int _{0}^{\Delta t_{i}}r_{ki}(t')dt'=\ln(1/u_{i})

,

где $u_{i}\in (0,1]$ являются N случайными числами.

Комментарии к алгоритму

Ключевое свойство алгоритма КМК (и алгоритма FRM) состоит в том, что если скорости корректны, если процессы, связанные со скоростями, относятся к типу пуассоновских процессов и если разные процессы независимы (т.е. не коррелированы), то КМК Алгоритм дает правильный временной масштаб для эволюции моделируемой системы. Были некоторые споры о правильности шкалы времени для алгоритмов rKMC, но ее правильность также была строго доказана. ^[2]

Если, кроме того, переходы следуют подробному балансу , алгоритм KMC можно использовать для моделирования термодинамического равновесия. Однако КМК широко используется для моделирования неравновесных процессов. ^[5] в этом случае подробный баланс не требуется соблюдать.

Алгоритм rfKMC эффективен в том смысле, что каждая итерация гарантированно приводит к переходу. Однако в представленной выше форме требуется $N$ операций для каждого перехода, что не слишком эффективно. Во многих случаях это можно значительно улучшить, объединив одни и те же типы переходов в ячейки и/или сформировав древовидную структуру данных событий. Недавно был разработан и протестирован алгоритм масштабирования такого типа с постоянным временем. ^[6]

Основным недостатком rfKMC является то, что все возможные ставки $r_{ki}$ и реакции должны быть известны заранее. Сам метод ничего не может сделать для их предсказания. Скорости и реакции должны быть получены с помощью других методов, таких как диффузионные (или другие) эксперименты, молекулярная динамика или моделирование теории функционала плотности .

Примеры использования

KMC использовался при моделировании следующих физических систем:

Поверхностная диффузия
Поверхностный рост ^[7]
Диффузия вакансий в сплавах (это было первоначальное использование ^[8])
Ускорение эволюции доменов
Подвижность и кластеризация дефектов в твердых телах, облученных ионами или нейтронами, включая, помимо прочего, модели накопления повреждений и модели аморфизации/рекристаллизации.
Вязкоупругость физически сшитых сетей ^[9]

Чтобы дать представление о том, какими могут быть «объекты» и «события» на практике, приведем один конкретный простой пример, соответствующий примеру 2 выше.

Рассмотрим систему, в которой отдельные атомы осаждаются на поверхность по одному (типично для физического осаждения из паровой фазы ), но также могут мигрировать по поверхности с некоторой известной скоростью скачка. $w$ . В этом случае «объектами» алгоритма КМС являются просто отдельные атомы.

Если два атома оказываются рядом друг с другом, они становятся неподвижными. Тогда поток входящих атомов определяет скорость r _{депозита} , и систему можно смоделировать с помощью KMC, учитывая все осажденные мобильные атомы, которые (еще) не встретились с аналогом и не стали неподвижными. Таким образом, на каждом этапе KMC возможны следующие события:

Новый атом приходит с _{депозитом по ставке}
Уже осажденный атом прыгает на один шаг со скоростью w .

После того, как событие было выбрано и выполнено с помощью алгоритма KMC, необходимо проверить, не стал ли новый или только что перескочивший атом непосредственно соседним с каким-либо другим атомом. Если это произошло, то атом(ы), которые теперь являются соседними, необходимо удалить из списка мобильных атомов, а соответственно их события прыжка удалить из списка возможных событий.

Естественно, применяя КМК к задачам физики и химии, нужно сначала подумать, достаточно ли хорошо реальная система следует предположениям, лежащим в основе КМК.Реальные процессы не обязательно имеют четко определенные скорости.переходные процессы могут быть коррелированы в случае скачков атомов или частицскачки могут происходить не в случайных направлениях и т.д. При моделированиив совершенно несопоставимых временных масштабах, необходимо также рассмотреть вопрос о том,новые процессы могут присутствовать в более длительных временных масштабах. Если что-либо из этогопроблемы действительны, временные рамки и эволюция системы предсказаны KMCможет быть искаженным или даже совершенно неправильным.

История

Первая публикация, в которой были описаны основные особенности метода КМК (а именно использование кумулятивной функции для выбора события и расчета шкалы времени в форме 1/ R ), была сделана Янгом и Элкоком в 1966 году. ^[8] Примерно в то же время был опубликован алгоритм времени пребывания. ^[10]

Очевидно, независимо от работ Янга и Элкока, Борца, Калоса и Лебовица. ^[1] разработали алгоритм KMC для моделирования модели Изинга , который они назвали n-кратным способом . Основы их алгоритма такие же, как у Янга, ^[8] но они предоставляют гораздо более подробную информацию о методе.

В следующем году Дэн Гиллеспи опубликовал то, что сейчас известно как алгоритм Гиллеспи для описания химических реакций. ^[11] Алгоритм аналогичен и схема продвижения по времени, по сути, такая же, как и в КМК.

На момент написания этой статьи (июнь 2006 г.) не существовало окончательного трактата по теории КМК, но Фихторн и Вайнберг подробно обсудили теорию моделирования термодинамического равновесия КМК. ^[12] Хорошее введение также дает Art Voter, ^[13][1] и APJ Янсен, ^[14][2] и недавний обзор (Chatterjee 2007). ^[15] или (Чотия 2008). ^[16] Обоснование KMC как обобщенной динамики Ланжевена с использованием подхода квазистационарного распределения было развито Т. Лельевром и его сотрудниками. ^[17]^[18]

выпустила, вероятно, первое коммерческое программное обеспечение, использующее Kinetic Monte Carlo для моделирования диффузии и активации/деактивации легирующих примесей в кремнии и кремниеподобных материалах В марте 2006 года компания Synopsys , о чем сообщили Мартин-Брагадо и др. ^[19]

Разновидности КМК

Метод КМК можно подразделить по тому, как движутся объекты или происходят реакции. По крайней мере, используются следующие подразделения:

Решетка КМК ( ЛКМК ) означает КМК, выполненную на атомной решетке . Часто эту разновидность еще называют атомистической КМК, ( АКМК ). Типичным примером является моделирование вакансий диффузии в сплавах , где вакансия может прыгать по решетке со скоростью, зависящей от локального элементного состава. ^[20]
Объект КМК ( ОКМК ) означает КМК, проводимый для дефектов или примесей , скачущих либо в случайных, либо в решеточно-специфичных направлениях. В моделирование включены только положения прыгающих объектов, а не положения «фоновых» атомов решетки. Базовый шаг KMC — прыжок на один объект.
Событие KMC ( EKMC ) или KMC первого прохождения ( FPKMC ) означает разновидность OKMC, в которой следующая реакция между объектами (например, кластеризация двух примесей или вакансии - межузельная аннигиляция) выбирается с помощью алгоритма KMC с учетом положения объекта, и это событие затем немедленно выполняется. ^[21]^[22]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Бортц, AB; Калос, Миннесота; Лебовиц, Дж. Л. (1975). «Новый алгоритм моделирования спиновых систем Изинга методом Монте-Карло». Журнал вычислительной физики . 17 (1). Эльзевир Б.В.: 10–18. Бибкод : 1975JCoPh..17...10B . дои : 10.1016/0021-9991(75)90060-1 . ISSN 0021-9991 .
^ Jump up to: ^а ^б Серебрянский, Сантьяго А. (31 марта 2011 г.). «Физическая шкала времени в кинетическом моделировании цепей Маркова с непрерывным временем по методу Монте-Карло». Физический обзор E . 83 (3). Американское физическое общество (APS): 037701. Бибкод : 2011PhRvE..83c7701S . дои : 10.1103/physreve.83.037701 . ISSN 1539-3755 . ПМИД 21517635 .
^ Садик, Абдулла (1984). «Новый алгоритм моделирования кинетики спинового обмена систем Изинга методом Монте-Карло». Журнал вычислительной физики . 55 (3). Эльзевир Б.В.: 387–396. Бибкод : 1984JCoPh..55..387S . дои : 10.1016/0021-9991(84)90028-7 . ISSN 0021-9991 .
^ Прадос, А.; Брей, Джей-Джей; Санчес-Рей, Б. (1997). «Динамический алгоритм Монте-Карло для основных уравнений с зависящей от времени скоростью перехода». Журнал статистической физики . 89 (3–4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 709–734. Бибкод : 1997JSP....89..709P . дои : 10.1007/bf02765541 . ISSN 0022-4715 . S2CID 122985615 .
^ Мэн, Б.; Вайнберг, WH (1994). «Моделирование температурно-программируемых спектров десорбции методом Монте-Карло». Журнал химической физики . 100 (7). Издательство AIP: 5280–5289. Бибкод : 1994ЖЧФ.100.5280М . дои : 10.1063/1.467192 . ISSN 0021-9606 .
^ Слепой, Александр; Томпсон, Эйдан П.; Плимптон, Стивен Дж. (28 мая 2008 г.). «Кинетический алгоритм Монте-Карло с постоянным временем для моделирования больших сетей биохимических реакций». Журнал химической физики . 128 (20). Издательство АИП: 205101. Бибкод : 2008JChPh.128t5101S . дои : 10.1063/1.2919546 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 18513044 .
^ Мэн, Б.; Вайнберг, WH (1996). «Динамические исследования методом Монте-Карло моделей молекулярно-лучевого эпитаксиального роста: межфазное масштабирование и морфология». Поверхностная наука . 364 (2). Эльзевир Б.В.: 151–163. Бибкод : 1996SurSc.364..151M . дои : 10.1016/0039-6028(96)00597-3 . ISSN 0039-6028 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Янг, В.М.; Элкок, EW (1966). «Исследование Монте-Карло миграции вакансий в бинарных упорядоченных сплавах: I». Труды Физического общества . 89 (3). Издательство ИОП: 735–746. Бибкод : 1966PPS....89..735Y . дои : 10.1088/0370-1328/89/3/329 . ISSN 0370-1328 .
^ Берле, Стефан А.; Усами, Такао; Гусев, Андрей А. (2006). «Новый подход многомасштабного моделирования для прогнозирования механических свойств наноматериалов на основе полимеров». Полимер . 47 (26). Эльзевир Б.В.: 8604–8617. doi : 10.1016/j.polymer.2006.10.017 . ISSN 0032-3861 .
^ Д. Р. Кокс и Х. Д. Миллер, Теория случайных процессов (Метуэн, Лондон), 1965, стр. 6–7.
^ Гиллеспи, Дэниел Т. (1976). «Общий метод численного моделирования стохастической временной эволюции связанных химических реакций». Журнал вычислительной физики . 22 (4). Эльзевир Б.В.: 403–434. Бибкод : 1976JCoPh..22..403G . дои : 10.1016/0021-9991(76)90041-3 . ISSN 0021-9991 .
^ Фихторн, Кристен А .; Вайнберг, WH (15 июля 1991 г.). «Теоретические основы динамического моделирования Монте-Карло». Журнал химической физики . 95 (2). Издательство AIP: 1090–1096. Бибкод : 1991JChPh..95.1090F . дои : 10.1063/1.461138 . ISSN 0021-9606 .
^ AF Voter, Введение в кинетический метод Монте-Карло, в книге «Радиационные эффекты в твердых телах», под редакцией К.Е. Сикафуса и Е.А. Котомина (Springer, Издательское подразделение НАТО, Дордрехт, Нидерланды, 2005).
^ APJ Янсен, Введение в моделирование поверхностных реакций методом Монте-Карло, конденсированное вещество, абстрактное cond-mat/0303028 .
^ Чаттерджи, Абхиджит; Влахос, Дионисиос Г. (28 февраля 2007 г.). «Обзор пространственных микроскопических и ускоренных кинетических методов Монте-Карло». Журнал компьютерного дизайна материалов . 14 (2). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 253–308. Бибкод : 2007JCMD...14..253C . дои : 10.1007/s10820-006-9042-9 . ISSN 0928-1045 . S2CID 53336314 .
^ Чотия, Амодсен; Вито, Матье; Фогт, Тибо; Компарат, Дэниел; Пийе, Пьер (30 апреля 2008 г.). «Кинетическое моделирование дипольной блокады методом Монте-Карло в эксперименте с возбуждением Ридберга» . Новый журнал физики . 10 (4). Издание IOP: 045031. arXiv : 0803.4481 . Бибкод : 2008NJPh...10d5031C . дои : 10.1088/1367-2630/10/4/045031 . ISSN 1367-2630 .
^ Ди Джезу, Джакомо; Лельевр, Тони; Ле Петрек, Дориан; Некту, Борис (2016). «Модели скачка Маркова и теория переходного состояния: подход квазистационарного распределения». Фарадеевские дискуссии . 195 : 469–495. arXiv : 1605.02643 . Бибкод : 2016ФаДи..195..469Д . дои : 10.1039/C6FD00120C . ISSN 1364-5498 . ПМИД 27740662 . S2CID 25564764 .
^ Лельевр, Тони (2018). «Математические основы методов ускоренной молекулярной динамики». В Андреони, Ванда; Ага, Сидни (ред.). Справочник по моделированию материалов . Спрингер. стр. 773–803. arXiv : 1801.05347 . дои : 10.1007/978-3-319-44677-6_27 . ISBN 978-3-319-44677-6 .
^ Мартин-Брагадо, Игнасио; Тиан, С.; Джонсон, М.; Кастрильо, П.; Пиначо, Р.; Рубио, Дж.; Джарайс, М. (2006). «Моделирование заряженных дефектов, механизмов диффузии примесей и активации для моделирования TCAD с использованием кинетического Монте-Карло». Ядерные приборы и методы в физических исследованиях. Раздел B: Взаимодействие пучков с материалами и атомами . 253 (1–2). Эльзевир Б.В.: 63–67. Бибкод : 2006НИМПБ.253...63М . дои : 10.1016/j.nimb.2006.10.035 . ISSN 0168-583X .
^ Мейсон, доктор медицинских наук; Хадсон, Т.С.; Саттон, AP (январь 2005 г.). «Быстрый вызов истории состояний в кинетическом моделировании Монте-Карло с использованием ключа Зобриста». Компьютерная физика. Коммуникации . 165 (1): 37–48. Бибкод : 2005CoPhC.165...37M . дои : 10.1016/j.cpc.2004.09.007 .
^ Далла Торре, Дж.; Боке, Ж.-Л.; Доан, Невада; Адам, Э.; Барбу, А. (2005). «JERK, кинетическая модель Монте-Карло на основе событий для прогнозирования эволюции микроструктуры материалов под облучением». Философский журнал . 85 (4–7). Информа UK Limited: 549–558. Бибкод : 2005PMag...85..549D . дои : 10.1080/02678370412331320134 . ISSN 1478-6435 . S2CID 96878847 .
^ Опплеструп, Томас; Булатов Василий Владимирович; Гилмер, Джордж Х.; Калос, Малвин Х.; Садыг, Бабак (4 декабря 2006 г.). «Алгоритм Монте-Карло первого прохода: диффузия без всех прыжков». Письма о физических отзывах . 97 (23). Американское физическое общество (APS): 230602. Бибкод : 2006PhRvL..97w0602O . дои : 10.1103/physrevlett.97.230602 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 17280187 .

Внешние ссылки

[Bortz1975-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Бортц, AB; Калос, Миннесота; Лебовиц, Дж. Л. (1975). «Новый алгоритм моделирования спиновых систем Изинга методом Монте-Карло». Журнал вычислительной физики . 17 (1). Эльзевир Б.В.: 10–18. Бибкод : 1975JCoPh..17...10B . дои : 10.1016/0021-9991(75)90060-1 . ISSN 0021-9991 .

[Serebrinsky2011-2] Jump up to: ^а ^б Серебрянский, Сантьяго А. (31 марта 2011 г.). «Физическая шкала времени в кинетическом моделировании цепей Маркова с непрерывным временем по методу Монте-Карло». Физический обзор E . 83 (3). Американское физическое общество (APS): 037701. Бибкод : 2011PhRvE..83c7701S . дои : 10.1103/physreve.83.037701 . ISSN 1539-3755 . ПМИД 21517635 .

[Sadiq1984-3] Садик, Абдулла (1984). «Новый алгоритм моделирования кинетики спинового обмена систем Изинга методом Монте-Карло». Журнал вычислительной физики . 55 (3). Эльзевир Б.В.: 387–396. Бибкод : 1984JCoPh..55..387S . дои : 10.1016/0021-9991(84)90028-7 . ISSN 0021-9991 .

[4] Прадос, А.; Брей, Джей-Джей; Санчес-Рей, Б. (1997). «Динамический алгоритм Монте-Карло для основных уравнений с зависящей от времени скоростью перехода». Журнал статистической физики . 89 (3–4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 709–734. Бибкод : 1997JSP....89..709P . дои : 10.1007/bf02765541 . ISSN 0022-4715 . S2CID 122985615 .

[5] Мэн, Б.; Вайнберг, WH (1994). «Моделирование температурно-программируемых спектров десорбции методом Монте-Карло». Журнал химической физики . 100 (7). Издательство AIP: 5280–5289. Бибкод : 1994ЖЧФ.100.5280М . дои : 10.1063/1.467192 . ISSN 0021-9606 .

[6] Слепой, Александр; Томпсон, Эйдан П.; Плимптон, Стивен Дж. (28 мая 2008 г.). «Кинетический алгоритм Монте-Карло с постоянным временем для моделирования больших сетей биохимических реакций». Журнал химической физики . 128 (20). Издательство АИП: 205101. Бибкод : 2008JChPh.128t5101S . дои : 10.1063/1.2919546 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 18513044 .

[7] Мэн, Б.; Вайнберг, WH (1996). «Динамические исследования методом Монте-Карло моделей молекулярно-лучевого эпитаксиального роста: межфазное масштабирование и морфология». Поверхностная наука . 364 (2). Эльзевир Б.В.: 151–163. Бибкод : 1996SurSc.364..151M . дои : 10.1016/0039-6028(96)00597-3 . ISSN 0039-6028 .

[:0-8] Jump up to: ^а ^б ^с Янг, В.М.; Элкок, EW (1966). «Исследование Монте-Карло миграции вакансий в бинарных упорядоченных сплавах: I». Труды Физического общества . 89 (3). Издательство ИОП: 735–746. Бибкод : 1966PPS....89..735Y . дои : 10.1088/0370-1328/89/3/329 . ISSN 0370-1328 .

[9] Берле, Стефан А.; Усами, Такао; Гусев, Андрей А. (2006). «Новый подход многомасштабного моделирования для прогнозирования механических свойств наноматериалов на основе полимеров». Полимер . 47 (26). Эльзевир Б.В.: 8604–8617. doi : 10.1016/j.polymer.2006.10.017 . ISSN 0032-3861 .

[10] Д. Р. Кокс и Х. Д. Миллер, Теория случайных процессов (Метуэн, Лондон), 1965, стр. 6–7.

[11] Гиллеспи, Дэниел Т. (1976). «Общий метод численного моделирования стохастической временной эволюции связанных химических реакций». Журнал вычислительной физики . 22 (4). Эльзевир Б.В.: 403–434. Бибкод : 1976JCoPh..22..403G . дои : 10.1016/0021-9991(76)90041-3 . ISSN 0021-9991 .

[12] Фихторн, Кристен А .; Вайнберг, WH (15 июля 1991 г.). «Теоретические основы динамического моделирования Монте-Карло». Журнал химической физики . 95 (2). Издательство AIP: 1090–1096. Бибкод : 1991JChPh..95.1090F . дои : 10.1063/1.461138 . ISSN 0021-9606 .

[13] AF Voter, Введение в кинетический метод Монте-Карло, в книге «Радиационные эффекты в твердых телах», под редакцией К.Е. Сикафуса и Е.А. Котомина (Springer, Издательское подразделение НАТО, Дордрехт, Нидерланды, 2005).

[14] APJ Янсен, Введение в моделирование поверхностных реакций методом Монте-Карло, конденсированное вещество, абстрактное cond-mat/0303028 .

[15] Чаттерджи, Абхиджит; Влахос, Дионисиос Г. (28 февраля 2007 г.). «Обзор пространственных микроскопических и ускоренных кинетических методов Монте-Карло». Журнал компьютерного дизайна материалов . 14 (2). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 253–308. Бибкод : 2007JCMD...14..253C . дои : 10.1007/s10820-006-9042-9 . ISSN 0928-1045 . S2CID 53336314 .

[16] Чотия, Амодсен; Вито, Матье; Фогт, Тибо; Компарат, Дэниел; Пийе, Пьер (30 апреля 2008 г.). «Кинетическое моделирование дипольной блокады методом Монте-Карло в эксперименте с возбуждением Ридберга» . Новый журнал физики . 10 (4). Издание IOP: 045031. arXiv : 0803.4481 . Бибкод : 2008NJPh...10d5031C . дои : 10.1088/1367-2630/10/4/045031 . ISSN 1367-2630 .

[17] Ди Джезу, Джакомо; Лельевр, Тони; Ле Петрек, Дориан; Некту, Борис (2016). «Модели скачка Маркова и теория переходного состояния: подход квазистационарного распределения». Фарадеевские дискуссии . 195 : 469–495. arXiv : 1605.02643 . Бибкод : 2016ФаДи..195..469Д . дои : 10.1039/C6FD00120C . ISSN 1364-5498 . ПМИД 27740662 . S2CID 25564764 .

[18] Лельевр, Тони (2018). «Математические основы методов ускоренной молекулярной динамики». В Андреони, Ванда; Ага, Сидни (ред.). Справочник по моделированию материалов . Спрингер. стр. 773–803. arXiv : 1801.05347 . дои : 10.1007/978-3-319-44677-6_27 . ISBN 978-3-319-44677-6 .

[19] Мартин-Брагадо, Игнасио; Тиан, С.; Джонсон, М.; Кастрильо, П.; Пиначо, Р.; Рубио, Дж.; Джарайс, М. (2006). «Моделирование заряженных дефектов, механизмов диффузии примесей и активации для моделирования TCAD с использованием кинетического Монте-Карло». Ядерные приборы и методы в физических исследованиях. Раздел B: Взаимодействие пучков с материалами и атомами . 253 (1–2). Эльзевир Б.В.: 63–67. Бибкод : 2006НИМПБ.253...63М . дои : 10.1016/j.nimb.2006.10.035 . ISSN 0168-583X .

[20] Мейсон, доктор медицинских наук; Хадсон, Т.С.; Саттон, AP (январь 2005 г.). «Быстрый вызов истории состояний в кинетическом моделировании Монте-Карло с использованием ключа Зобриста». Компьютерная физика. Коммуникации . 165 (1): 37–48. Бибкод : 2005CoPhC.165...37M . дои : 10.1016/j.cpc.2004.09.007 .

[21] Далла Торре, Дж.; Боке, Ж.-Л.; Доан, Невада; Адам, Э.; Барбу, А. (2005). «JERK, кинетическая модель Монте-Карло на основе событий для прогнозирования эволюции микроструктуры материалов под облучением». Философский журнал . 85 (4–7). Информа UK Limited: 549–558. Бибкод : 2005PMag...85..549D . дои : 10.1080/02678370412331320134 . ISSN 1478-6435 . S2CID 96878847 .

[22] Опплеструп, Томас; Булатов Василий Владимирович; Гилмер, Джордж Х.; Калос, Малвин Х.; Садыг, Бабак (4 декабря 2006 г.). «Алгоритм Монте-Карло первого прохода: диффузия без всех прыжков». Письма о физических отзывах . 97 (23). Американское физическое общество (APS): 230602. Бибкод : 2006PhRvL..97w0602O . дои : 10.1103/physrevlett.97.230602 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 17280187 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]