Константы поляризации

В теории потенциала и оптимизации константы поляризации (также известные как константы Чебышева ) являются решениями проблемы макс-минуты для потенциалов. Первоначально эти задачи предложил японский математик Макото Оцука . В последнее время эти проблемы привлекли некоторое внимание, поскольку они могут помочь генерировать случайные точки на гладких многообразиях (в частности, на единичной сфере ) с заданной функцией плотности вероятности . Проблема нахождения постоянной поляризации связана с проблемой минимизации энергии и, в частности, с проблемой Томсона .

Практическая мотивация

С практической точки зрения эти задачи можно использовать для ответа на следующий вопрос: если $K(x,x_{j})$ обозначает количество вещества, полученное при $x$ за счет инжектора вещества, расположенногов $x_{j}$, каково наименьшее количество подобных форсунок и их оптимальное расположение на $A$ так, чтобы предписанное минимальное количество веществадостигает каждой точки $A$? Например, этот вопрос можно связать с лечением радиоактивными семенами опухолей .

Формальное определение

Точнее, для компактного набора $A$ и ядро $K:A\times A\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$, задача дискретной поляризации состоит в следующем: определить $N$-точечные конфигурации $\{x_{j}\}_{j=1}^{N}$ на $A$ так, чтобы минимум $\sum _{j=1}^{N}K(x,x_{j})$ для $x\in A$ максимально велик.

Классические ядра

Номенклатура Чебышева для этой макс-мин задачи исходит из случая, когда $K$ – логарифмическое ядро, $K(x,y)=\log |x-y|^{-1},$ когда $A$ является подмножествомкомплексной плоскости, проблема эквивалентна нахождению ограниченного $N$ -й степени Полином Чебышева для $A$; то есть монический полином от комплексной переменной $z$ со всеми его нулями на $A$ имеяминимальная единая норма по $A$.

Если $A$ - единичный круг на плоскости и $K(x,y)=|x-y|^{-s}$, $s>0$ (т. е. ядро ​​потенциала Рисса ), то $N$ равноотстоящие друг от друга точки на окружности решают задачу $N$ проблема точечной поляризации.