Суперпуассоновское распределение

В математике суперпуассоновское распределение — это распределение вероятностей , имеющее большую дисперсию, чем распределение Пуассона с тем же средним значением . И наоборот, субпуассоновское распределение имеет меньшую дисперсию.

Примером суперпуассоновского распределения является отрицательное биномиальное распределение .

Распределение Пуассона — это результат процесса, в котором время (или эквивалентная мера) между событиями имеет экспоненциальное распределение , представляя процесс без памяти .

Математическое определение

В теории вероятностей принято говорить, что распределение D является подраспределением другого распределения E, если ограничена D производящая момент функция E с точностью до константы.Другими словами

$E_{X\sim D}[\exp(tX)]\leq E_{X\sim E}[\exp(CtX)].$

для некоторого C > 0 . Это означает, что если $X_{1}$ и $X_{2}$ оба из дистрибутива sub-E, то и $X_{1}+X_{2}$.

Распределение является строго суб-, если C ≤ 1 .Согласно этому определению распределение D является субпуассоновым, если

$E_{X\sim D}[\exp(tX)]\leq E_{X\sim {\text{Poisson}}(\lambda )}[\exp(tX)]=\exp(\lambda (e^{t}-1)),$

для всех t > 0 .

Примером субпуассоновского распределения является распределение Бернулли , поскольку

$E[\exp(tX)]=(1-p)+pe^{t}\leq \exp(p(e^{t}-1)).$

Поскольку в суммах сохраняется субпуассонизм, мы получаем, что биномиальное распределение также является субпуассоновым.