Гипотеза Пенлеве

Конфигурация Джеффа Ся из пяти тел состоит из пяти точечных масс, две пары которых находятся на эксцентрических эллиптических орбитах друг вокруг друга, а одна масса колеблется вперед и назад вдоль линии симметрии. Ся доказал, что при определенных начальных условиях конечная масса будет ускорена до бесконечной скорости за конечное время. Это доказывает гипотезу Пенлеве для пяти тел и выше.

В физике гипотеза Пенлеве — это теорема об особенностях среди решений задачи n тел : существуют особенности без столкновений для n ≥ 4.

Теорема была доказана для n ≥ 5 в 1988 году Джеффом Ся. и для n=4 в 2014 году Джинсинь Сюэ.

Предыстория и заявление

Решения $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ проблемы n тел ${\dot {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )$ (где M — массы, а U — гравитационный потенциал ), говорят, что они имеют особенность, если существует последовательность времен $t_{n}$ сходящаяся к конечному $t^{*}$ где $\nabla U\left(\mathbf {q} \left(t_{n}\right)\right)\rightarrow \infty$. То есть силы и ускорения становятся бесконечными в какой-то конечный момент времени.

Столкновительная сингулярность возникает, если $\mathbf {q} (t)$ стремится к определенному пределу, когда $t\rightarrow t^{*},t<t^{*}$. Если предел не существует, особенность называется псевдостолкновительной или нестолкновительной особенностью.

Поль Пенлеве показал, что при n = 3 любое решение с сингулярностью за конечное время испытывает сингулярность столкновения. Однако ему не удалось распространить этот результат за пределы трех тел. Его лекции в Стокгольме 1895 года заканчиваются гипотезой о том, что

При n ≥ 4 задача n тел допускает нестолкновительные особенности.

Разработка

Эдвард Гюго фон Цайпель в 1908 году доказал, что если существует сингулярность столкновения, то $J(\mathbf {q} (t))$ стремится к определенному пределу, так как $t\rightarrow t^{*}$, где $J(\mathbf {q} )=\sum _{i}m_{i}|\mathbf {q} _{i}|^{2}$ это момент инерции . Отсюда следует, что необходимым условием бесстолкновительной сингулярности является то, что скорость хотя бы одной частицы становится неограниченной (поскольку положения $\mathbf {q}$ остаются конечными до этого момента).

Мэзеру и МакГи удалось доказать в 1975 году, что сингулярность без столкновений может возникнуть в коллинеарной задаче четырех тел (то есть, когда все тела находятся на прямой), но только после бесконечного числа (регуляризованных) бинарных столкновений.

Дональд Г. Саари доказал в 1977 году, что почти для всех (в смысле меры Лебега ) начальных условий на плоскости или пространстве для задач 2, 3 и 4 тел существуют решения без особенностей.

В 1984 году Джо Гервер привел аргумент в пользу сингулярности без столкновений в плоской задаче пяти тел без столкновений. Позже он нашел доказательство случая с 3 n телами.

Наконец, в своей докторской диссертации 1988 года Джефф Ся продемонстрировал конфигурацию из пяти тел, в которой наблюдается сингулярность без столкновений.

Джо Гервер предложил эвристическую модель существования четырехчастичных особенностей.

В своей докторской диссертации 2013 года в Университете Мэриленда Цзиньсинь Сюэ рассмотрел упрощенную модель для случая планарной задачи четырех тел, основанного на гипотезе Пенлеве. Основываясь на модели Гервера, он доказал, что существует канторовский набор начальных условий, которые приводят к решениям гамильтоновой системы, скорости которых ускоряются до бесконечности за конечное время, избегая всех предыдущих столкновений. В 2014 году Сюэ расширил свою предыдущую работу и доказал гипотезу для n=4.