Комбинаторная геометрия на плоскости
 | |
| Авторы | Хьюго Хадвигер , Ханс Дебраннер |
|---|---|
| Переводчик | Виктор Клее |
| Язык | немецкий |
| Предмет | Дискретная геометрия |
| Издатель | Женевский университет |
Дата публикации | 1960 |
«Комбинаторная геометрия на плоскости» — книга по дискретной геометрии . Он был переведен из книги на немецком языке Kombinatorische Geometry in der Ebene , которую ее авторы Хьюго Хадвигер и Ханс Дебруннер опубликовали в Женевском университете в 1960 году, дополнив обзорную статью 1955 года, опубликованную Хадвигером в L'Enseignement mathématique . [1] Виктор Клее перевел его на английский и добавил главу нового материала. Он был опубликован в 1964 году Холтом, Райнхартом и Уинстоном. [2] и переиздан в 1966 году издательством Dover Publications. [3] A Russian-language edition, Комбинаторная геометрия плоскости , translated by I. M. Jaglom and including a summary of the new material by Klee, was published by Nauka in 1965. [4] Комитет по основным спискам библиотек Американской математической ассоциации рекомендовал включить ее в библиотеки по математике для студентов. [3]
Темы
[ редактировать ]В первой половине книги представлены формулировки почти 100 предложений дискретной геометрии евклидовой плоскости , а во второй половине даны наброски их доказательств. Добавленная глава Клее, расположенная между двумя половинами, содержит еще 10 положений, включая некоторые обобщения на более высокие измерения, а книга завершается подробной библиографией ее тем. [5]
Результаты по дискретной геометрии, рассматриваемые в этой книге, включают:
- Теорема Каратеодори о том, что каждая точка выпуклой оболочки плоского множества принадлежит треугольнику, определяемому тремя точками множества, и теорема Стейница о том, что каждая точка внутри выпуклой оболочки является внутренней по отношению к выпуклой оболочке из четырех точек множества. [3]
- Теорема Эрдеша-Эннинга гласит , что если бесконечное множество точек на плоскости имеет целое расстояние между всеми двумя точками, то все данные точки должны лежать на одной прямой. [3]
- Теорема Хелли гласит , что если семейство компактных выпуклых множеств имеет непустое пересечение для каждой тройки множеств, то и все семейство имеет непустое пересечение. [3]
- Хеллиподобное свойство видимости, связанное с теоремой о художественной галерее : если каждые три точки многоугольника видны из некоторой общей точки внутри многоугольника, то существует точка, из которой виден весь многоугольник. В этом случае многоугольник должен иметь форму звезды . [1]
- Невозможность покрытия замкнутого параллелограмма тремя переведенными копиями его внутренней части и тот факт, что любое другое компактное выпуклое множество можно покрыть таким образом. [1]
- Теорема Юнга о том, что (для множеств на плоскости) радиус наименьшей охватывающей окружности не превышает раза больше диаметра. Эта оценка точна для равностороннего треугольника . [3]
- Парадоксы разложения множества на более мелкие множества, связанные с парадоксом Банаха–Тарского . [1]
- Теорема Радона о том, что каждые четыре точки плоскости можно разбить на два подмножества с пересекающимися выпуклыми оболочками. [3]
- Лемма Спернера о раскрасках триангуляций. [1]
- Теорема Сильвестра-Галлаи в том виде, что если конечный набор точек на плоскости обладает свойством, что каждая линия, проходящая через две точки, содержит третью точку из набора, то все данные точки должны лежать на одной прямой. [3]
- Задача Тарского о доске , заключающаяся в том, что всякий раз, когда две бесконечные полосы вместе покрывают компактное выпуклое множество, их общая ширина по крайней мере равна ширине самой узкой полосы, которая покрывает это множество сама по себе. [1] [3]
- Всякий раз, когда линия покрыта двумя замкнутыми подмножествами, то хотя бы одно из двух подмножеств имеет пары точек на всех возможных расстояниях. [1]
Он также включает некоторые темы, относящиеся к комбинаторике, но не являющиеся по своей сути геометрическими. [1] включая:
- Теорема Холла о браке, характеризующая двудольные графы , имеющие идеальное паросочетание . [3]
- Теорема Рамсея о том, что если -кортежам точек из бесконечного множества точек присвоено конечное число цветов, то бесконечное подмножество имеет -кортежи только одного цвета. [3]
Аудитория и прием
[ редактировать ]Книга написана на уровне, подходящем для студентов бакалавриата по математике, и предполагает наличие базовых знаний в области реального анализа и геометрии на уровне бакалавриата. [6] Одна из целей книги — познакомить студентов этого уровня с задачами исследовательского уровня по математике, формулировка которых легко доступна. [2]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с д и ж г час Гейл Д. , «Обзор комбинаторной геометрии на плоскости », Mathematical Reviews , MR 0164279
- ^ Перейти обратно: а б Мозер, В., «Обзор комбинаторной геометрии на плоскости », Mathematical Reviews , MR 0164279.
- ^ Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж к Хендель, Рассел Джей (январь 2016 г.), «Обзор комбинаторной геометрии на плоскости » , MAA Reviews
- ^ Firey, W. J. , "Review of Комбинаторная геометрия плоскости ", Mathematical Reviews , MR 0203578
- ^ Монк, Д. (декабрь 1965 г.), «Обзор комбинаторной геометрии на плоскости », Труды Эдинбургского математического общества , 14 (4): 340–341, doi : 10.1017/s0013091500009056
- ^ Джонсон, GP (декабрь 1965 г.), «Обзор комбинаторной геометрии на плоскости », The American Mathematical Monthly , 72 (10): 1154, doi : 10.2307/2315998 , JSTOR 2315998