Евклидова случайная матрица
В математике евклидова N × N случайная матрица размера определяется с помощью произвольной детерминированной функции f ( r , r ′) и N точек { ri } , случайно распределенных в области V d евклидова -мерного пространства . Элемент A ij матрицы равен f ( r i , r j ): A ij = f ( r i , r j ).
История
[ редактировать ]Евклидовы случайные матрицы были впервые представлены в 1999 году. [1] Они изучили частный случай функций f , которые зависят только от расстояний между парами точек: f ( r , r ′) = f ( r - r ′) и наложили дополнительное условие на диагональные элементы A ii ,
- А ij знак равно ж ( р я - р j ) - ты δ ij Σ k ж ( р я - р k ),
мотивированы физическим контекстом, в котором они изучали матрицу.Евклидова матрица расстояний является частным примером евклидовой случайной матрицы с либо f ( r i - r j ) = | р я - р j | 2 или ж ( р я - р j ) знак равно | р я - р j |. [2]
Например, во многих биологических сетях сила взаимодействия между двумя узлами зависит от физической близости этих узлов. Пространственные взаимодействия между узлами можно смоделировать как евклидову случайную матрицу, если узлы расположены в пространстве случайным образом. [3] [4]
Характеристики
[ редактировать ]Поскольку положения точек { r i } случайны, элементы матрицы A ij тоже случайны. Более того, поскольку элементы N × N полностью определяются только N точками и, как правило, нас интересует N ≫ d , между различными элементами существуют сильные корреляции.
Эрмитово-евклидовы случайные матрицы
[ редактировать ]Эрмитовы евклидовы случайные матрицы появляются в различных физических контекстах, включая переохлажденные жидкости, [5] фононы в неупорядоченных системах, [6] и волны в случайных средах. [7]
Пример 1. Рассмотрим матрицу Â, порожденную функцией f ( r , r ′) = sin( k 0 | r - r ′|)/( k 0 | r - r ′|), где k 0 = 2π/λ 0 . Эта матрица эрмитова и ее собственные значения Λ вещественны . Для N точек, распределенных случайным образом в кубе со стороной L и объемом V = L 3 , можно показать [7] что распределение вероятностей Λ приближенно задается законом Марченко-Пастура , если плотность точек ρ = N / V подчиняется ρλ 0 3 ≤ 1 и 2,8 Н /( k 0 L ) 2 < 1 (см. рисунок).
Неэрмитовы евклидовы случайные матрицы
[ редактировать ]теория плотности собственных значений больших ( N ≫1) неэрмитовых евклидовых случайных матриц. Развита [8] и был применен для изучения проблемы случайного лазера . [9]
Пример 2. Рассмотрим матрицу Â, порожденную функцией f ( r , r ′) = exp( ik 0 | r - r ′|)/( k 0 | r - r ′|), где k 0 = 2π/λ 0 и f ( r = r ′) = 0. Эта матрица не является эрмитовой и ее собственные значения Λ являются комплексными . Распределение вероятностей Λ можно найти аналитически [8] если плотность точки ρ = N / V подчиняется ρλ 0 3 ≤ 1 и 9 Н /(8 k 0 R ) 2 < 1 (см. рисунок).
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Мезард, М.; Паризи, Г.; Зи, А. (1999). «Спектры евклидовых случайных матриц». Ядерная физика Б . 559 (3): 689–701. arXiv : cond-mat/9906135 . Бибкод : 1999НуФБ.559..689М . дои : 10.1016/S0550-3213(99)00428-9 . S2CID 3020186 .
- ^ Богомольный, Е.; Бохигас, О.; Шмит, К. (2003). «Спектральные свойства матриц расстояний». Журнал физики A: Математический и общий . 36 (12): 3595–3616. arXiv : nlin/0301044 . Бибкод : 2003JPhA...36.3595B . дои : 10.1088/0305-4470/36/12/341 . S2CID 15199709 .
- ^ Мьюир, Дилан; Мрсик-Флогель, Томас (2015). «Границы собственного спектра полуслучайных матриц с модульной и пространственной структурой для нейронных сетей» . Физ. Преподобный Е. 91 (4): 042808. Бибкод : 2015PhRvE..91d2808M . дои : 10.1103/PhysRevE.91.042808 . ПМИД 25974548 .
- ^ Грилли, Якопо; Барабас, Дьёрдь; Аллесина, Стефано (2015). «Сохранение метапопуляций в случайных фрагментированных ландшафтах» . PLOS Вычислительная биология . 11 (5): e1004251. Бибкод : 2015PLSCB..11E4251G . дои : 10.1371/journal.pcbi.1004251 . ISSN 1553-7358 . ПМЦ 4439033 . ПМИД 25993004 .
- ^ Григера, Т.С.; Мартин-Майор, В.; Паризи, Г.; Верроккьо, П. (2003). «Фононная интерпретация« бозонного пика »в переохлажденных жидкостях». Природа . 422 (6929): 289–292. Бибкод : 2003Natur.422..289G . дои : 10.1038/nature01475 . ПМИД 12646916 . S2CID 4393962 .
- ^ Амир, А.; Орег, Ю.; Имри, Ю. (2010). «Локализация, аномальная диффузия и медленная релаксация: подход матрицы случайных расстояний». Письма о физических отзывах . 105 (7): 070601. arXiv : 1002.2123 . Бибкод : 2010PhRvL.105g0601A . doi : 10.1103/PhysRevLett.105.070601 . ПМИД 20868026 . S2CID 42664610 .
- ^ Перейти обратно: а б Скипетров, С.Э.; Гетчи, А. (2011). «Распределение собственных значений больших евклидовых случайных матриц для волн в случайных средах». Физический журнал A: Математический и теоретический . 44 (6): 065102. arXiv : 1007.1379 . Бибкод : 2011JPhA...44f5102S . дои : 10.1088/1751-8113/44/6/065102 . S2CID 119152955 .
- ^ Перейти обратно: а б Гетчи, А.; Скипетров, С. (2011). «Неэрмитова евклидова теория случайных матриц». Физический обзор E . 84 (1): 011150. arXiv : 1102.1850 . Бибкод : 2011PhRvE..84a1150G . дои : 10.1103/PhysRevE.84.011150 . ПМИД 21867155 . S2CID 44717545 .
- ^ Гетчи, А.; Скипетров, С.Э. (2011). «Евклидова матричная теория случайной генерации в облаке холодных атомов». ЭПЛ . 96 (3): 34005. arXiv : 1104.2711 . Бибкод : 2011EL.....9634005G . дои : 10.1209/0295-5075/96/34005 . S2CID 119116200 .