Слабая алгебра Хопфа

В математике , которые являются одновременно алгебрами и коалгебрами , слабые биалгебры — это обобщение биалгебр но для которых условия совместимости между двумя структурами «ослаблены». В том же духе слабые алгебры Хопфа являются слабыми биалгебрами вместе с линейным отображением S, удовлетворяющим определенным условиям; они являются обобщениями алгебр Хопфа .

Эти объекты были представлены Бёмом, Ниллом и Шлачани. Первые мотивы для их изучения исходили из квантовой теории поля и операторных алгебр . Слабые алгебры Хопфа имеют весьма интересную теорию представлений; в частности, модули над полупростой конечной слабой алгеброй Хопфа представляют собой категорию слияния (которая является моноидальной категорией с дополнительными свойствами). Этингоф, Никшич и Острик также показали, что любая категория слияния эквивалентна категории модулей над слабой алгеброй Хопфа.

Определение

биалгебра Слабая $(H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )$ над полем $k$ это векторное пространство $H$ такой, что

• $(H,\mu ,\eta )$ образует ассоциативную алгебру с умножением $\mu :H\otimes H\rightarrow H$ и единица $\eta :k\rightarrow H$,
• $(H,\Delta ,\varepsilon )$ образует коассоциативную коалгебру с коумножением $\Delta :H\rightarrow H\otimes H$ и счетчик $\varepsilon :H\rightarrow k$,

для которых выполняются следующие условия совместимости:

1. Мультипликативность коумножения:

   $\Delta \circ \mu =(\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \sigma _{H,H}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )$,

2. Слабая мультипликативность единицы:

   $\varepsilon \circ \mu \circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})=(\varepsilon \otimes \varepsilon )\circ (\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta \otimes \mathrm {id} _{H})=(\varepsilon \otimes \varepsilon )\circ (\mu \otimes \mu )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta ^{op}\otimes \mathrm {id} _{H})$,

3. Слабая мультипликативность единицы:

   $(\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta \circ \eta =(\mathrm {id} _{H}\otimes \mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )\circ (\eta \otimes \eta )=(\mathrm {id} _{H}\otimes \mu ^{op}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\Delta \otimes \Delta )\circ (\eta \otimes \eta )$,

где $\sigma _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V:v\otimes w\mapsto w\otimes v$ переворачивает два тензорных фактора. Более того $\mu ^{op}=\mu \circ \sigma _{H,H}$ противоположное умножение и $\Delta ^{op}=\sigma _{H,H}\circ \Delta$ является противоположным умножением. Обратите внимание, что мы также неявно используем теорему когерентности Мак Лейна для моноидальной категории векторных пространств, определяя $(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)$ а также $V\otimes k\cong V\cong k\otimes V$.

Определение ослабляет совместимость алгебры и коалгебрных структур биалгебры. Точнее, ослабляются единица и счет. Это остается верным и в аксиомах слабой алгебры Хопфа.

Хопфа Слабая алгебра $(H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)$ является слабой биалгеброй $(H,\mu ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )$ с линейной картой $S:H\to H$, называемый антиподом , который удовлетворяет:

• $\mu \circ (\mathrm {id} _{H}\otimes S)\circ \Delta =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \sigma _{H,H})\circ (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\eta \otimes \mathrm {id} _{H})$,
• $\mu \circ (S\otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta =(\mathrm {id} _{H}\otimes \varepsilon )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \mu )\circ (\sigma _{H,H}\otimes \mathrm {id} _{H})\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \Delta )\circ (\mathrm {id} _{H}\otimes \eta )$,
• $S=\mu \circ (\mu \otimes \mathrm {id} _{H})\circ (S\otimes \mathrm {id} _{H}\otimes S)\circ (\Delta \otimes \mathrm {id} _{H})\circ \Delta$.

Примеры

1. Алгебра Хопфа. Разумеется, любая алгебра Хопфа является слабой алгеброй Хопфа.
2. Группоидная алгебра. Предполагать $G=(G_{0},G_{1})$ является группоидом и пусть $K[G]$ — группоидная алгебра, другими словами, алгебра, порожденная морфизмами $g\in G_{1}$. Это становится слабой алгеброй Хопфа, если мы определим
   • $\mu :K[G]\otimes K[G]\to K[G]~{\text{by}}~\mu (g\otimes h)=\left\{{\begin{array}{cl}g\circ h&{\text{if target(h) = source(g)}}\\0&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.$
   • $\eta :k\to K[G]~{\text{by}}~\eta (1)=\sum _{X\in G_{0}}\mathrm {id} _{X}$
   • $\Delta :K[G]\to K[G]\otimes K[G]~{\text{by}}~\Delta (g)=g\otimes g~{\text{for all}}~g\in G_{1}$
   • $\varepsilon :K[G]\to k~{\text{by}}~\varepsilon (g)=1~{\text{for all}}~g\in G_{1}$
   • $S:K[G]\to K[G]~{\text{by}}~S(g)=g^{-1}~{\text{for all}}~g\in G_{1}$.

Обратите внимание, что этот второй пример является слабой алгеброй Хопфа, но не алгеброй Хопфа .

Теория представлений

Пусть H — полупростая конечная слабая алгебра Хопфа, тогда модули над H образуют полупростую жесткую моноидальную категорию с конечным числом простых объектов. Более того, пространства гомоморфизмов являются конечномерными векторными пространствами, а пространство эндоморфизмов простых объектов одномерны. Наконец, моноидальная единица представляет собой простой объект. Такая категория называется категорией слияния .

Можно показать, что некоторые моноидальные категории не являются модулями над алгеброй Хопфа. В случае слитых категорий (которые представляют собой просто моноидальные категории с дополнительными условиями) Этигоф, Никшич и Острик доказали, что любая слитая категория эквивалентна категории модулей над слабой алгеброй Хопфа.

Ссылки

• Бём, Габриэлла; Нилл, Флориан; Шлачани, Корнель (1999). «Слабые алгебры Хопфа. I. Интегральная теория и $C^{*}$-структура» . Журнал Алгебры . 221 (2): 385–438. doi : 10.1006/jabr.1999.7984 .

• Этингоф, Павел; Никшич, Дмитрий; Острик, Виктор (2005). «О категориях слияния». Анналы математики . Вторая серия. 162 (2): 581–642. arXiv : математика/0203060 . дои : 10.4007/анналы.2005.162.581 . S2CID   8343055 .

• Карали, Гизем (2008). «Об алгебрах Хопфа и их обобщениях» Коммуникации в алгебре 36 (12): 4341–4367. arXiv : math/0703441 . дои : 10.1080/00927870802182424 . S2CID   15804235 .