Чистая индуктивная логика

Чистая индуктивная логика ( ЧИЛ ) — это область математической логики, занимающаяся философскими и математическими основами вероятностных индуктивных рассуждений . Он сочетает в себе классическую логику предикатов и теорию вероятностей ( байесовский вывод ). Значения вероятности присваиваются предложениям реляционного языка первого порядка для обозначения степени убеждения, которого должен придерживаться рациональный агент. Значения условной вероятности представляют собой степени уверенности, основанные на предположении о некоторых полученных доказательствах.

PIL изучает функции априорной вероятности на множестве предложений и оценивает рациональность таких функций априорной вероятности. через принципы, которым такие функции, возможно, должны удовлетворять. Каждый из принципов предписывает функции присваивать предложениям значения вероятности и значения условной вероятности в некотором отношении рационально. Не все желательные принципы PIL совместимы, поэтому не существует априорной функции вероятности, которая удовлетворяла бы им всем. Однако некоторые априорные функции вероятности отличаются тем, что удовлетворяют важному набору принципов.

История

Индуктивная логика начала приобретать более четкую форму в начале 20-го века в работах Уильяма Эрнеста Джонсона и Джона Мейнарда Кейнса и получила дальнейшее развитие Рудольфа Карнапа . Карнап ввел различие между чистой и прикладной индуктивной логикой. а современная Чистая Индуктивная Логика развивается в соответствии с чистым, неинтерпретированным подходом, предложенным Карнапом.

Рамки

Общий случай

В своей базовой форме PIL использует логику первого порядка без равенства с обычными связками $\wedge ,\vee ,\neg ,\to$ ( и, или, не и подразумевает соответственно), кванторы $\exists ,\forall ,$ конечное число символов предикатов (отношений) и счетное число постоянных символов $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \,$.

Функциональные символы отсутствуют. Символы-предикаты могут быть унарными, двоичными или иметь более высокую арность . Конечный набор символов-предикатов может меняться, тогда как остальная часть языка остается неизменной. Это соглашение называть язык $L$ и напиши

$L=\{R_{1},R_{2},\ldots ,R_{q}\}$

где $R_{i}$ перечислите символы предикатов.Множество всех предложений обозначается $SL$. Если предложение написано с указанными в нем константами, то предполагается, что список включает по крайней мере все те, которые встречаются. ${\cal {T}}L$ представляет собой совокупность структур, $L$ со вселенной $\{a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \}$ и с каждым постоянным символом $a_{i}$ интерпретируется как само собой.

Функция вероятности для предложений $L$ это функция $w$ с доменом $SL$ и значения в единичном интервале $[0,1]$ удовлетворяющий следующим условиям:

– любое логически обоснованное предложение $\theta$ имеет вероятность $1\!:\,$ $w(\theta )=1$

- если предложения $\theta$ и $\phi$ тогда они взаимоисключающие $w(\theta \vee \phi )=w(\theta )+w(\phi )$

- для формулы $\psi (x)$ с одной свободной переменной вероятность $\exists x\,\psi (x)$ это предел вероятностей $\psi (a_{1})\vee \psi (a_{2})\vee \ldots \vee \psi (a_{n})$ как $n$ имеет тенденцию $\infty$.

Это последнее условие, выходящее за рамки стандартных аксиом Колмогорова (для конечной аддитивности), называется аксиомой Гейфмана и предназначено для отражения идеи о том, что $a_{i}$ исчерпать вселенную.

Для функции вероятности $w$ и предложение $\phi$ с $w(\phi )>0$, соответствующая функция условной вероятности $w(\,.|\,\phi )$ определяется

$w(\theta \mid \phi )={\frac {w(\theta \wedge \varphi )}{w(\varphi )}}\quad \ (\theta \in SL).$

В отличие от функций доверия во многих значных логиках , это не тот случай, когда значение вероятности сложного предложения определяется значениями вероятности его компонентов. Вероятность учитывает классическую семантику: логически эквивалентным предложениям должна быть присвоена одинаковая вероятность. Следовательно, часто идентифицируются логически эквивалентные предложения.

Описание состояния для конечного набора констант — это соединение атомарных предложений (предикатов или их отрицаний), созданных исключительно этими константами, так что для любого подходящего атомарного предложения в соединении появляется либо оно, либо его отрицание (но не то и другое).

Любая функция вероятности однозначно определяется своими значениями в описаниях состояний. Для определения функции вероятности достаточно указать неотрицательные значения всех описаний состояний для $a_{1},\ldots ,a_{n}$ (для всех $n$) так, чтобы значения всех описаний состояний для $a_{1},\ldots ,a_{n},a_{n+1}$ расширение данного описания состояния для $a_{1},\ldots ,a_{n}$ суммировать значение описания состояния, которое они все расширяют, с соглашением, что (единственное) описание состояния без констант является тавтологией и имеет значение $1$.

Если $\Theta$ это описание состояния для набора констант, включая $a_{i},a_{j}$ тогда говорят, что $a_{i},a_{j}$ неотличимы ​ в $\Theta$, $a_{i}\sim _{\Theta }a_{j}$, именно тогда, когда при добавлении равенства в язык (и аксиом равенства в логику) предложение $\Theta \wedge a_{i}=a_{j}$ является последовательным. $\,\sim _{\Theta }$ является отношением эквивалентности .

Унарный случай

В частном случае унарного PIL все предикаты $R_{1},\ldots ,R_{q}$ являются унарными. Формулы вида

$~~~~~~~~~~~~\beta (x)=\pm R_{1}(x)\wedge \pm R_{2}(x)\wedge \ldots \wedge \pm R_{q}(x)$

где $\pm R$ означает один из $R$, $\neg R$, называются атомами. Предполагается, что они перечислены в некотором фиксированном порядке: $\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{2^{q}}$.

Описание состояния определяет атом для каждой константы, входящей в него, и его можно записать как объединение этих атомов, созданных соответствующими константами. Две константы неразличимы в описании состояния, если оно указывает на один и тот же атом для них обоих.

Центральный вопрос

Предположим, что рациональный агент обитает в структуре в ${\cal {T}}L$ но ничего не знает о том, какой именно. Какая функция вероятности $w$должен ли он/она усыновить, когда $w(\theta )$ заключается в том, чтобы отразить степень его/ее убежденности в том, что предложение $\theta$ верно в этой окружающей структуре?

Рациональные принципы

Общие рациональные принципы

Следующие принципы были предложены в качестве желательных свойств рациональной априорной функции вероятности. $w$ для $L$.

Принцип постоянной взаимозаменяемости, упр. Вероятность приговора $\theta (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m})$ не меняется, когда $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}$ в нем заменяются любыми другими $m$-кортеж (различных) констант.

Принцип заменимости предикатов, Px. Если $R,R'$ являются предикатами одной и той же арности, тогдаза предложение $\theta$,

$w(\theta )=w(\theta ')$

где $\theta '$ является результатом одновременной замены $R$ к $R'$ и $R'$ к $R$ через $\theta$.

Принцип сильного отрицания, SN. Для предиката $R$ и приговор $\theta$,

$w(\theta )=w(\theta ')$

где $\theta '$ является результатом одновременной замены $R$ к $\neg R$ и $\neg R$ к $R$ через $\theta$.

Принцип регулярности, Рег. Если предложение без кванторов $\theta$ тогда это выполнимо $w(\theta )>0$.

Принцип сверхрегулярности (универсальной достоверности), SReg. Если предложение $\theta$ тогда это выполнимо $w(\theta )>0$.

Принцип постоянной нерелевантности, IP. Если предложения $\theta ,\phi$ тогда у вас нет общих констант $w(\theta \wedge \phi )=w(\theta )\cdot w(\phi )$.

Слабый принцип нерелевантности, WIP. Если предложения $\theta ,\phi$ не имеют общих констант и предикатов, тогда $w(\theta \wedge \phi )=w(\theta )\cdot w(\phi )$.

Принцип языковой инвариантности, Ли. Существует семейство вероятностных функций $w^{J}$, по одному на каждогоязык $J$, все удовлетворяющие Px и Ex, и такие, что $w^{L}=w$ иесли все предикаты $J$ принадлежат также к $K$ затем $w^{J}$ и $w^{K}$ согласовать предложения $J$.

Принцип (сильного) аналога, CP. Если $\theta ,\theta '$ являются предложениями такими, что $\theta '$ является результатом замены некоторых символов констант/отношений в $\theta$ новыми символами констант/отношений той же арности, не встречающимися в $\theta$ затем

$w(\theta \mid \theta ')\geq w(\theta ).$

(SCP) Если более того $\theta ''$ является результатом замены тех же и, возможно, дополнительных символов констант/отношений в $\theta$ по новомусимволы констант/отношений одной и той же арности, не встречающиеся в $\theta$ затем

$w(\theta \mid \theta ')\geq w(\theta \mid \theta '')\geq w(\theta ).$

Принцип инвариантности, ИНВ. Если $F$ является изоморфизмом алгебры Линденбаума-Тарского предложений $L$ поддерживается некоторой перестановкой $\mu$ из ${\cal {T}}L$ в том смысле, что для предложений $\theta ,\phi$,

$F([\theta ])=[\phi ]~$ как раз тогда, когда $~M\models \theta \Longleftrightarrow \mu (M)\models \phi$

затем $w(\theta )=w(\phi )$.

Принцип инвариантности перестановок, PIP. Как INV, за исключением того, что $F$ дополнительно требуется для отображения ( классов эквивалентности ) описаний состояний в (классы эквивалентности) описаний состояний.

Принцип взаимозаменяемости спектра, Sx. Вероятность $w(\Theta )$ описания состояния $\Theta$ только от спектра зависит $\Theta$, т. е. на мультимножестве размеров классов эквивалентности по отношению эквивалентности $\sim _{\Theta }$.

Ли с Sx. Как и принцип языковой инвариантности, все вероятностные функции в семействе также удовлетворяют возможности обмена спектра.

Принцип индукции, PI. Позволять $\Theta$ быть описанием состояния и $a_{k}$ константа, не появляющаяся в $\Theta$. Позволять $\Phi$, $\Psi$ быть описаниями состояний, расширяющими $\Theta$ включать (просто) $a_{k}$. Если $a_{k}$ является $\sim _{\Phi }$-эквивалентно некоторым и по крайней мере такому же количеству констант, как и есть $\sim _{\Psi }$-эквивалентно тогда $w(\Phi \mid \Theta )\geq w(\Psi \mid \Theta )$.

Дальнейшие рациональные принципы унарного PIL

Принцип мгновенной релевантности, ПИР. Для предложения $\theta$, атом $\beta$ и константы $a_{k},a_{m}$ не появляющийся в $\theta$,

$w(\beta (a_{k})\mid \beta (a_{m})\wedge \theta )\geq w(\beta (a_{k})\mid \theta )$.

Обобщенный принцип мгновенной релевантности, GPIR. Для предложений без кванторов $\psi (a_{k}),\phi (a_{m}),\theta$ с константами $a_{k},a_{m}$ не появляющийся в $\theta$, если $\psi (x)\models \phi (x)$ затем

$w(\psi (a_{k})\mid \phi (a_{m})\wedge \theta )\geq w(\psi (a_{k})\mid \theta ).$

Принцип достаточности Джонсона, JSP. Для описания состояния $\Theta$ для $n$ константы, атом $\beta$ и постоянный $a_{k}$ не появляющийся в $\Theta$, вероятность

$w(\beta (a_{k})\mid \Theta )$

зависит только от $n$ и от количества констант, для которых $\Theta$ указывает $\beta$.

Принцип обмена атомов, Ax. Если $\tau$ представляет собой перестановку $\{1,2,\ldots ,2^{q}\}$ и $\Theta$ - это описание состояния, выраженное как соединение экземпляров атомов, тогда $w(\Theta )=w(\Theta ')$ где $\Theta '$ получает от $\Theta$ при замене каждого $\beta _{i}$ к $\beta _{\tau (i)}$.

Аксиома Райхенбаха, РА. Позволять $\beta _{h_{i}}$ для $i=1,2,3,\ldots$ быть бесконечной последовательностьюатомы и $\beta$ атом. Тогда как $n$ имеет тенденцию $\infty$, разность между условной вероятностью

$w(\beta (a_{n+1})\mid \beta _{h_{1}}(a_{1})\wedge \beta _{h_{2}}(a_{2})\wedge \ldots \wedge \beta _{h_{n}}(a_{n}))$

и доля случаев $\beta$ среди $\beta _{h_{1}},\beta _{h_{2}},\ldots ,\beta _{h_{n}}$ имеет тенденцию $0$.

Принцип индукции для унарных языков, UPI. Для описания состояния $\Theta$, атомы $\beta _{i},\beta _{j}$ и постоянный $a_{k}$ не появляющийся в $\Theta$, если $\Theta$ указывает $\beta _{i}$ по крайней мере для такого же количества констант, как $\beta _{j}$ затем

$w(\beta _{i}(a_{k})\mid \Theta )\geq w(\beta _{j}(a_{k})\mid \Theta ).$

Восстановление. В любое время $\Psi (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$это описание состояния, то есть другое описание состояния $\Phi (a_{n+1},a_{n+2},\ldots ,a_{h})$ такой, что $w(\Phi \wedge \Psi )\neq 0$ и для любого предложения без кванторов $\theta (a_{h+1},a_{h+2},\ldots ,a_{h+g})$,

$w(\theta (a_{h+1},a_{h+2},\ldots ,a_{h+g})\,|\,\Phi \wedge \Psi )=w(\theta (a_{h+1},a_{h+2},\ldots ,a_{h+g})).$

Унарный принцип инвариантности языка, ULi. Как Ли, но с языками, ограниченными унарными.

УЛи с Топором. То же, что ULi, но со всеми вероятностными функциями семейства, также удовлетворяющими возможности обмена атомами.

Отношения между принципами

Общий случай

Sx подразумевает Ex, Px и SN.

PIP + Ex подразумевает Sx.

INV подразумевает PIP и Ex.

Ли подразумевает CP и SCP.

Li с Sx подразумевает PI.

Унарный случай

Ex подразумевает PIR.

Axe эквивалентен PIP.

Ax+Ex подразумевает UPI.

Ax+Ex эквивалентно Sx.

ULi с Ax подразумевает Li с Sx.

Важные функции вероятности

Общие функции вероятности

Функции $V_{M}$. Для заданной структуры $M\in {\cal {T}}L$ и $\theta \in SL$,

$V_{M}(\theta )=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\rm {if}}~M\models \theta ,\\0&{\rm {otherwise}}.\end{array}}\right.$

Функции $\omega ^{\Psi }$. Для данного описания состояния $\Psi (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{K})$, $\,\omega ^{\Psi }$ определяется путем указания его значений для описаний состояний следующим образом. $\,\omega ^{\Psi }(\Theta (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}))$ это вероятность того, что когда $a_{h_{1}},a_{h_{2}},\ldots ,a_{h_{n}}$ выбираются случайным образом из $\{a_{1},\ldots ,a_{K}\}$, с заменой и по равномерному распределению, тогда $\Psi (a_{1},\ldots ,a_{K})\models \Theta (a_{h_{1}},a_{h_{2}},\ldots ,a_{h_{n}}).$

Функции $^{\circ }\!(\omega ^{\Psi })$. То же, что и выше, но с использованием нестандартной вселенной (начиная с возможно нестандартного описания состояния). $\Psi$) для получения стандарта $^{\circ }\!(\omega ^{\Psi })$.

$\bullet$ $^{\circ }\!(\omega ^{\Psi })$ — единственные функции вероятности, удовлетворяющие Ex и IP.

Функции $u^{\overline {p}}$. Для данной бесконечной последовательности ${\overline {p}}=\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \rangle$неотрицательных действительных чисел таких, что

$p_{1}\geq p_{2}\geq p_{3}\geq \ldots \geq 0\,\,$ и $~\sum _{i=0}^{\infty }p_{i}=1$,

$u^{\overline {p}}$ определяется путем указания его значений для описаний состояний следующим образом:

Для последовательности ${\vec {c}}=\langle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}\rangle$ натуральных чисел и описание состояния $\Theta (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$, $\Theta$ соответствует ${\vec {c}}$если когда-нибудь $c_{s}=c_{t}\neq 0$ затем $a_{s}\sim _{\Theta }a_{t}$. $C({\vec {c}})$ количество описаний состояний для $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ в соответствии с ${\vec {c}}$. $\,u^{\overline {p}}(\Theta )$ это сумма по этим ${\vec {c}}$ с которым $\Theta$ совместимо, т.е.

$C({\vec {c}})^{-1}\prod _{s=1}^{n}p_{c_{s}}.$

$\bullet$ $u^{\overline {p}}$ являются единственными функциями вероятности, которые удовлетворяют требованиям WIP и Li с Sx. (Языково-инвариантное семейство, свидетельствующее Li о Sx, состоит из функций $u^{{\overline {p}},J}$ с фиксированным ${\overline {p}}$, где $u^{{\overline {p}},J}$ это как $u^{\overline {p}}$ но определяется языком $J$.)

Дополнительные функции вероятности (унарный PIL)

Функции $w$_{${\vec {c}}$}. Для вектора ${\vec {c}}=\langle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{2^{q}}\rangle$ неотрицательных действительных чисел, сумма которых равна единице, $w$_{${\vec {c}}$} определяется путем указания его значений для описаний состояний следующим образом:

$w$_{${\vec {c}}$}$(\Theta )=\prod _{j=1}^{2^{q}}c_{j}^{m_{j}}$

где $m_{j}$ - число констант, для которых $\Theta$ указывает $\beta _{j}$.

$\bullet$$w$_{${\vec {c}}$} являются единственными функциями вероятности, удовлетворяющими условиям Ex и IP (их также можно выразить как $^{\circ }\!(w^{\Psi })$ ).

Континуальные функции Карнапа $c_{\lambda }.\,$ Для $\lambda >0$, функция вероятности $c_{\lambda }$ однозначно определяется значениями

$c_{\lambda }(\beta _{j}(a_{n+1})\mid \Theta )={\frac {m_{j}+\lambda 2^{-q}}{n+\lambda }}$

где $\Theta$ это описание состояния для $n$ константы, не включая $a_{k}$ и $m_{j}$ — число констант, для которых $\Theta$ указывает $\beta _{j}$.

Более того, $c_{\infty }$ это функция вероятности, которая присваивает $2^{-nq}$ к каждому описанию состояния для $n$ константы и $c_{0}$ это функция вероятности, которая присваивает $2^{-q}$ к любому описанию состояния, в котором все константы неразличимы, $0$ к любому другому описанию состояния.

$\bullet$ $c_{\lambda }$ — единственные функции вероятности, удовлетворяющие Ex и JSP.

$\bullet$ Они также удовлетворяют Ли – функции $c_{\lambda }^{J}$ с фиксированным $\lambda$, где $c_{\lambda }^{J}$ это как $c_{\lambda }$ но определяется языком $J$ предоставить унарные, инвариантные к языку члены семейства.

Функции $w^{\delta }$.Для $-(2^{q}-1)^{-1}\leq \delta \leq 1$, $w^{\delta }$ является средним значением $2^{q}$ функции $w$_{${\vec {c}}$} где ${\vec {c}}$ имеет все координаты, кроме одной, равные друг другу, причем нечетная координата отличается от них на $\delta$, так

$w^{\delta }=2^{-q}\sum _{i=1}^{2^{q}}$$w$_{${\vec {e_{i}}}$}

где ${\vec {e_{i}}}=\langle \gamma ,\gamma ,\ldots ,\gamma ,\gamma +\delta ,\gamma ,\ldots ,\gamma \rangle ~$, ( $\gamma +\delta$ в $i$место) и $\gamma =2^{-q}(1-\delta )$.

Для $0\leq \delta \leq 1$, $w^{\delta }$ равны $u^{\bar {p}}$ для

${\bar {p}}=\langle 1-\delta ,\delta ,0,0,0,\ldots \rangle$

и как таковые они удовлетворяют Ли.

$\bullet$ $w^{\delta }$ — единственные функции, удовлетворяющие требованиям GPIR, Ex, Ax и Reg.

$\bullet$ $w^{\delta }$ с $0\leq \delta <1$ — единственные функции, которые удовлетворяют требованиям Recovery, Reg и ULi с Axe.

Теоремы о представлении

Теорема о представлении класса функций вероятности предоставляет средства выражения каждой функции вероятности в классе.в терминах общих, относительно простых функций вероятности из того же класса.

Теорема о представлении для всех функций вероятности . Каждая функция вероятности $w$ для $L$ может быть представлено как

$w=\int _{{\cal {T}}L}V_{M}\,d\mu (M)$

где $\mu$ это $\sigma$-аддитивная мера по $\sigma$-алгебра подмножеств ${\cal {T}}L$ порожденный наборами

$\{\,M\in {\cal {T}}L\mid M\vDash \theta \,\}~~~~(\theta \in SL).$

Теорема о представлении для Ex (с использованием нестандартного анализа и теории интеграции Леба). ). Каждая функция вероятности $w$ для $L$ удовлетворяющее Ex, можно представить как

$w=\int _{A}\,^{\circ }\!(\omega ^{\Psi })\,d\mu (\Psi )$

где $A$ представляет собой внутренний набор описаний состояний для $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{\nu }$ (с $\nu$ фиксированное бесконечное натуральное число) и $\mu$ это $\sigma$-аддитивная мера по $\sigma$-алгебра подмножеств $A$ .

Теорема о представлении Li с Sx . Каждая функция вероятности $w$ для $L$ удовлетворяющее Li с помощью Sx, можно представить как

$w=\int _{\mathbb {B} }\,u^{\overline {p}}\,d\mu ({\overline {p}})$

где ${\mathbb {B} }$ это набор последовательностей

${\overline {p}}=\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \rangle$

неотрицательных действительных чисел, суммирующихся с $1$ и такое, что $p_{1}\geq p_{2}\geq p_{3}\geq \ldots \,\geq 0\,$ и $\mu$ это $\sigma$-аддитивная мера на борелевских подмножествах ${\mathbb {B} }$ в топологии продукта .

Теорема де Финетти о представлении (унарная) . В унарном случае (где $L$ это язык, содержащий $q$ унарные предикаты), теорема о представлении Ex эквивалентна:

Каждая функция вероятности $w$ для $L$ удовлетворяющее Ex, можно представить как

$w=\int _{\mathbb {D} }w_{\vec {x}}\,d\mu ({\vec {x}}).$

где ${\mathbb {D} }$ это набор векторов ${\vec {x}}=\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{q}}\rangle$ неотрицательных действительных чисел, сумма которых равна единице и $\mu$ это $\sigma$-аддитивная мера по ${\mathbb {D} }$.

Ссылки

• Джефф Пэрис, Алена Венцовска (2015). Чистая индуктивная логика , Издательство Кембриджского университета.
• Джефф Пэрис (2010). Курс зимней школы Гуанчжоу по чистой индуктивной логике (PDF) .
• Джефф Пэрис (2012). Слайды Мюнхенского семинара по формальной эпистемологии (PDF) .
• Алена Венцовска (2017). Конспекты курса чистой индуктивной логики в Праге (PDF) с упражнениями.