Точечно-сюръективный морфизм

Не путать с аналогичным понятием эпиморфизма .

В теории категорий точечно -сюръективный морфизм — это морфизм $f:X\rightarrow Y$ которое «ведёт себя» как сюръективы на категории множеств .

Понятие точечной сюръективности является важным в теореме Лоувера о неподвижной точке . и впервые он был представлен Уильямом Ловером в его оригинальной статье.

Определение

Точечная сюръективность

В категории $\mathbf {C}$ с терминальным объектом $1$, морфизм $f:X\rightarrow Y$ называется точечно-сюръективным, если для любого морфизма $y:1\rightarrow Y$, существует морфизм $x:1\rightarrow X$ такой, что $f\circ x=y$.

Слабая

Если $Y$ является экспоненциальным объектом формы $B^{A}$ для некоторых объектов $A,B$ в $\mathbf {C}$, можно определить более слабое (но технически более громоздкое) понятие точечной сюръективности.

Морфизм $f:X\rightarrow B^{A}$ называется слабо точечно-сюръективным, если для любого морфизма $g:A\rightarrow B$ существует морфизм $x:1\rightarrow X$ такая, что для любого морфизма $a:1\rightarrow A$, у нас есть

$\epsilon \circ \langle f\circ x,a\rangle =g\circ a$

где $\langle -,-\rangle :A\rightarrow B\times C$ обозначает произведение двух морфизмов ( $A\rightarrow B$ и $A\rightarrow C$) и $\epsilon :B^{A}\times A\rightarrow B$ является оценочной картой в категории морфизмов $\mathbf {C}$.

Эквивалентно, можно было бы подумать о морфизме $f:X\rightarrow B^{A}$ как транспонирование некоторого другого морфизма ${\tilde {f}}:X\times A\rightarrow B$. Тогда изоморфизм между hom-множествами $\mathrm {Hom} (X\times A,B)\cong \mathrm {Hom} (X,B^{A})$ позвольте нам сказать это $f$ является слабо точечно-сюръективным тогда и только тогда, когда ${\tilde {f}}$ является слабо точечно-сюръективным.

Связь с сюръективными функциями в Set

Установить элементы как морфизмы конечных объектов

В категории множеств морфизмы — это функции , а терминальные объекты — одиночки . Следовательно, морфизм $a:1\rightarrow A$ это функция из синглтона $\{x\}$ на съемочную площадку $A$: поскольку функция должна указывать уникальный элемент в кодомене для каждого элемента в домене, у нас есть это $a(x)\in A$ является одним из конкретных элементов $A$. Следовательно, каждый морфизм $a:1\rightarrow A$ можно рассматривать как особый элемент $A$ сам.

По этой причине морфизмы $a:1\rightarrow A$ могут служить «обобщением» элементов множества и иногда называются глобальными элементами .

и точечная

Благодаря этому соответствию определение точечно-сюръективных морфизмов очень похоже на определение сюръективных функций . Функция (морфизм) $f:X\rightarrow Y$ называется сюръективным (точечно-сюръективным), если для каждого элемента $y\in Y$ (для любого морфизма $y:1\rightarrow Y$), существует элемент $x\in X$ (существует морфизм $x:1\rightarrow X$) такой, что $f(x)=y$ ( $f\circ x=y$).

Понятие слабой точки-сюръективности также напоминает это соответствие, если только заметить, что экспоненциальный объект $B^{A}$ в категории множеств есть не что иное, как совокупность всех функций $f:A\rightarrow B$.