Триномиальные кривые Элкиса

Триномиальная кривая Элкиса C ₁₆₈

В теории чисел — триномиальные кривые Элкиса это некоторые гиперэллиптические кривые, построенные Ноамом Элкисом , которые обладают тем свойством, что рациональные точки на них соответствуют триномиальным полиномам, дающим расширение Q с определенными группами Галуа .

Одна кривая, C ₁₆₈ , дает группу Галуа PSL(2,7) из полинома седьмой степени, а другая, C ₁₃₄₄ , дает группу Галуа AL(8), полупрямое произведение восьмого 2-элементарной группы порядка, действующей на PSL(2, 7), давая транзитивную подгруппу перестановок симметрической группы на восьми корнях порядка 1344.

Уравнение кривой C ₁₆₈ :

$y^{2}=x(81x^{5}+396x^{4}+738x^{3}+660x^{2}+269x+48)$

Кривая представляет собой модель плоской алгебраической кривой для резольвенты Галуа для триномиального полиномиального уравнения x ⁷ + bx + c = 0. Если существует точка (x, y) на (проективизированной) кривой, существует соответствующая пара (b, c) рациональных чисел, такая что триномиальный многочлен либо факторизуется, либо имеет группу Галуа PSL (2,7) — конечная простая группа порядка 168. Кривая имеет род два, поэтому по теореме Фалтингса на ней имеется только конечное число рациональных точек. доказал, что эти рациональные точки Нильс Брюин с помощью компьютерной программы Kash являются единственными на C ₁₆₈ , и они дают только четыре различных триномиальных полинома с группой Галуа PSL(2,7): x ⁷ -7x+3 (полином Тринкса), (1/11)x ⁷ -14x+3 ² (полином Эрбаха-Фишера-Маккея) и два новых полинома с группой Галуа PSL(2,7),

$37^{2}x^{7}-28x+3^{2}$

и

$(499^{2}/113)x^{7}-212x+3^{4}$.

С другой стороны, уравнение кривой C ₁₃₄₄ имеет вид:

$y^{2}=2x^{6}+4x^{5}+36x^{4}+16x^{3}-45x^{2}+190x+1241$

И снова род равен двум, и по теореме Фалтингса список рациональных точек конечен. Считается, что единственные рациональные точки на нем соответствуют многочленам x ⁸ +16x+28, х ⁸ +576x+1008, 19 ⁴ 53x ⁸ +19x+2, которые имеют группу Галуа AL(8), и x ⁸ +324x+567, который происходит из двух разных рациональных точек и снова имеет группу Галуа PSL(2, 7), на этот раз как группу Галуа полинома восьмой степени.

Ссылки

• Брюин, Нильс; Элкис, Ноам (2002). «Триномиальный топор ⁷ + bx + c и топор ⁸ + bx + c с группами Галуа порядка 168 и 8⋅168». Алгоритмическая теория чисел: 5-й международный симпозиум, ANTS-V . Конспекты лекций по информатике, том 2369, Springer-Verlag. С. 172–188. MR   2041082 .

• Эрбах, Д.В.; Фишер, Дж.; Маккей, Дж. (1979). «Полиномы с PSL (2,7) как группа Галуа» . Журнал теории чисел . 11 (1): 69–75. дои : 10.1016/0022-314X(79)90020-9 . МР   0527761 .