Проекционное тело

В выпуклой геометрии тело проекции $\Pi K$ выпуклого тела $K$ в n -мерном евклидовом пространстве – это выпуклое тело такое, что для любого вектора $u\in S^{n-1}$ , функция вспомогательная $\Pi K$ в направлении u — ( n – 1)-мерный объем проекции K на гиперплоскость, ортогональную u .

Герман Минковский показал, что тело проекции выпуклого тела является выпуклым. Петти (1967) и Шнайдер ( 1967 ) использовали проекционные тела в своем решении проблемы Шепарда .

Для $K$ выпуклое тело, пусть $\Pi ^{\circ }K$ обозначим полярное тело его проекционного тела. Для этого тела существуют два замечательных аффинно-изопериметрических неравенства. Петти (1971) доказал, что для всех выпуклых тел $K$ ,

V_{n}(K)^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }K)\leq V_{n}(B^{n})^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }B^{n}),

где $B^{n}$ обозначает n -мерный единичный шар и $V_{n}$ является n -мерным объемом, и равенство имеется именно для эллипсоидов. Чжан ( 1991 ) доказал, что для всех выпуклых тел $K$ ,

V_{n}(K)^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }K)\geq V_{n}(T^{n})^{n-1}V_{n}(\Pi ^{\circ }T^{n}),

где $T^{n}$ обозначает любой $n$ -мерный симплекс, и именно для таких симплексов существует равенство.

Тело пересечения IK тела K определяется аналогично, как звездное тело такое, что для любого вектора u радиальная функция IK от начала координат в направлении u представляет собой ( n – 1)-мерный объем пересечения K с гиперплоскостью u. ^⊥. Эквивалентно, радиальная функция тела пересечения IK является преобразованием Функа радиальной функции K . Тела пересечений были представлены Лутваком ( 1988 ).

Колдобский (1998а) показал, что центрально-симметричное звездообразное тело является телом пересечения тогда и только тогда, когда функция 1/|| х || — положительно определенное распределение, где || х || — однородная функция степени 1, равная 1 на границе тела, и Колдобский (1998b) использовал ее, чтобы показать, что единичные шары l ^п
_n , 2 < p ≤ ∞ в n -мерном пространстве с l ^п нормы являются телами пересечения для n = 4, но не являются телами пересечения для n ≥ 5.

См. также

Ссылки

Бурген, Жан; Линденштраусс, Дж. (1988), «Проекционные тела», Геометрические аспекты функционального анализа (1986/87) , Конспекты лекций по математике, том. 1317, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 250–270, doi : 10.1007/BFb0081746 , ISBN. 978-3-540-19353-1 , МР 0950986
Колдобский, Александр (1998a), «Тела пересечения, положительно определенные распределения и проблема Буземана-Петти», American Journal of Mathematics , 120 (4): 827–840, CiteSeerX 10.1.1.610.5349 , doi : 10.1353/ajm. 1998.0030 , ISSN 0002-9327 , МР 1637955
Колдобский, Александр (1998b), «Тела пересечения в R⁴», Успехи в математике , 136 (1): 1–14, doi : 10.1006/aima.1998.1718 , ISSN 0001-8708 , MR 1623669
Лутвак, Эрвин (1988), «Тела пересечения и двойные смешанные объемы», Успехи в математике , 71 (2): 232–261, doi : 10.1016/0001-8708(88)90077-1 , ISSN 0001-8708 , MR 0963487
Петти, Клинтон М. (1967), «Проекционные тела» , Материалы коллоквиума по выпуклости (Копенгаген, 1965) , Kobenhavns Univ. Мат. Институт, Копенгаген, стр. 234–241, MR 0216369.
Петти, Клинтон М. (1971), «Изопериметрические проблемы», Материалы конференции по выпуклости и комбинаторной геометрии (Университет Оклахомы, Норман, Оклахома, 1971). Кафедра математики, унив. Оклахома, Норман, Оклахома , стр. 26–41, MR 0362057.
Шнайдер, Рольф (1967). «О задаче Шепарда о проекциях выпуклых тел» . Математический журнал (на немецком языке). 101 :71–82. дои : 10.1007/BF01135693 .
Чжан, Гаойонг (1991), «Ограниченная проекция хорды и аффинные неравенства», Geometriae Dedicata , 39 (4): 213–222, doi : 10.1007/BF00182294 , MR 1119653