Согласованный набор персонажей

В теории математического когерентность представления — это свойство наборов символов , которое позволяет распространить изометрию от подпространства нулевой степени пространства символов на все пространство. Общее понятие когерентности было развито Фейтом ( 1960 , 1962 ) как обобщение доказательства Фробениуса существования ядра Фробениуса группы Фробениуса и работ Брауэра и Судзуки об исключительных характерах . Фейт и Томпсон (1963 , глава 3) развили последовательность далее в доказательстве теоремы Фейта-Томпсона о том, что все группы нечетного порядка разрешимы.

Определение

Предположим, что H — подгруппа конечной группы G , а S — неприводимых характеров группы H. набор Напишите I ( S ) для множества целочисленных линейных комбинаций S и I ₀ ( S ) для подмножества элементов степени 0 из I ( S ). что τ — изометрия виртуальных характеров I0 _{Предположим ,} ( S степени 0 группы G. ) Тогда τ называется когерентным , если его можно расширить до изометрии от I ( S ) до характеров группы G и I0 _. ( S ) не равно нулю Хотя, строго говоря, когерентность на самом деле является свойством изометрии τ, принято говорить, что множество S когерентно, вместо того, чтобы говорить, что τ когерентно.

Теорема Фейта

Фейт доказал несколько теорем, определяющих условия, при которых набор символов когерентен. Типичный вариант заключается в следующем. Предположим, что H — подгруппа группы G с нормализатором N , такая, что N — группа Фробениуса с ядром H , и пусть S — неприводимые характеры группы N, которые не имеют H в своем ядре. Предположим, что τ — линейная изометрия из I ₀ ( S ) в характеры степени 0 G. группы Тогда τ когерентно, если только

либо H — элементарная абелева группа, и N / H действует просто транзитивно на ее нетождественных элементах (в этом случае I ₀ ( S ) равно нулю)
или H неабелева p -группа для некоторого простого числа p , абелианизация которого имеет порядок не выше 4| Н / Ч | ²+1.

Примеры

Если G — простая группа SL ₂ ( F _{2 ^н}) для n >1 и H — силовская 2-подгруппа с индукцией τ, то когерентность невозможна по первой причине: H элементарна абелева и N / H имеет порядок 2 ^н–1 и действует на него просто транзитивно.

Если G — простая группа Сузуки порядка (2 ^н–1) 2 ^22н( 2 ^22н+1) если n нечетно, n >1, H — силовская 2-подгруппа, а τ — индукция, то когерентность нарушается по второй причине. Абелианизация H имеет порядок 2 ^н, а группа N / H имеет порядок 2 ^н–1.

Примеры

В доказательстве теории Фробениуса о существовании ядра группы Фробениуса G , где подгруппа H — это подгруппа, фиксирующая точку, а S — множество всех неприводимых характеров группы , изометрия τ на I0 _H ( S ) равна просто индукция, хотя ее распространение на I ( S ) не является индукцией.

Аналогично в теории исключительных характеров изометрия τ снова является индукцией.

В более сложных случаях изометрия τ уже не является индукцией. Например, в теореме Фейта – Томпсона изометрия τ является изометрией Дейда .

Ссылки

Фейт, Уолтер (1960), «Об одном классе дважды транзитивных групп перестановок» , Illinois Journal of Mathematics , 4 (2): 170–186, doi : 10.1215/ijm/1255455862 , ISSN 0019-2082 , MR 0113953
Фейт, Уолтер (1962), «Групповые персонажи. Исключительные персонажи» , в Холле, Маршалл (редактор), 1960 г., Институт конечных групп: состоялось в Калифорнийском технологическом институте, Пасадена, Калифорния, 1-28 августа 1960 г. , Proc. . Симпозиумы. Чистая математика., вып. VI, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 67–70, ISBN. 978-0-8218-1406-2 , МР 0132779
Фейт, Уолтер (1967), Характеры конечных групп , WA Benjamin, Inc., Нью-Йорк-Амстердам, ISBN 9780805324341 , МР 0219636
Фейт, Уолтер ; Томпсон, Джон Г. (1963), «Разрешимость групп нечетного порядка» , Pacific Journal of Mathematics , 13 : 775–1029, doi : 10.2140/pjm.1963.13.775 , ISSN 0030-8730 , MR 0166261