Игу Яньдуань

Предисловие к «Игу яньдуань , Сику Цюаньшу»

«Игу Яньдуань» («Древняя математика в расширенных разделах») — математический труд XIII века, написанный династии Юань математиком Ли Чжи .

Обзор

Игу яньдуань был основан на из Северной Сун (益古集) математика Цзян Чжоу (蒋周) Игу Цзи (益古集), который не сохранился. Однако, судя по фрагментам, процитированным в Ян Хуэя работе «Полные алгоритмы площади» (田亩比类算法大全), этот утраченный математический трактат Игу Цзи был посвящен решению задач с площадями с помощью геометрии.

Ли Чжи использовал примеры Игу Цзи искусством Тянь юань шу , чтобы познакомить новичков с . Хотя в предыдущей монографии Ли Чжи «Цэюань хайцзин» также использовалось Тянь юань шу, ее труднее понять, чем Игу яньдуань .

Позже Игу Яньдуань был собран в Сику Цюаньшу .

Игу яньдуань состоит из трех томов, в которых 64 задачи решены с помощью Тянь юань ш] параллельно с геометрическим методом. Ли Чжи намеревался познакомить учеников с искусством Тянь юань шу посредством древней геометрии. Игу яньдуань вместе с Цейюань хайцзин считаются важным вкладом в Тянь юань шу Ли Чжи . Эти две работы также считаются самыми ранними из сохранившихся документов о Тянь юань шу.

Все 64 задачи имели более или менее одинаковый формат: начиная с вопроса (问), за которым следовал ответ (答曰), диаграмма, затем алгоритм (术), в котором Ли Чжи шаг за шагом объяснял, как задать вверх по алгебраическому уравнению с Тянь юань шу , затем следует геометрическая интерпретация (Тяо дуань шу). Порядок расположения уравнения Тянь юань шу в Игу яньдуань обратный порядку расположения в Цэюань хайцзин, т. е. здесь с постоянным членом вверху, за которым следуют Тянь юань первого порядка, Тянь юань второго порядка, Тянь юань третьего порядка и т. д. Это более позднее расположение соответствовало современному соглашению об алгебраических уравнениях (например, «Математический трактат в девяти разделах » Цинь Цзюшао ) и позже стало нормой.

Игу яньдуань был впервые представлен английским читателям британским протестантским христианским миссионером в Китае Александром Уайли , который писал:

И ку йен тьван... написанный в 1282 году, состоит из 64 геометрических задач, иллюстрирующих принцип плоского измерения, эволюции и другие правила, причем все они разрабатываются с помощью Тин юэнь.

В 1913 году Ван Хи перевел все 64 задачи с языка Игу яньдуань на французский язык.

Том I

Задача 8 в Игу Яньдуань решена Ин Лайн Тянь Юань Шу

Задачи с 1 по 22, все о математике круга, вложенного в квадрат.

Пример: задача 8

Имеется квадратное поле с круглым бассейном посередине, учитывая, что площадь земли 13,75 му, а сумма окружностей квадратного поля и круглого бассейна равна 300 шагам, какова длина окружностей квадрата и круга? соответствующий?

Ответ: Длина окружности квадрата — 240 шагов, длина окружности — 60 шагов.

Метод: задайте единицу тянь юаня (небесный элемент 1) как диаметр круга, x.

ЭТОТ

умножьте его на 3, чтобы получить длину окружности 3x (pi ~~3)

ЭТОТ

вычтите это из суммы окружностей, чтобы получить длину окружности квадрата. $300-3x$

ЭТОТ

Его площадь в 16 раз больше площади квадрата. $(300-3x)*(300-3x)=90000-1800x+9x^{2}$

ЭТОТ

Снова задайте тянь юань 1 как диаметр круга, возведите его в квадрат и умножьте на 12, чтобы получитьВ 16 раз больше площади круга, чем

ЭТОТ

вычтите из 16 квадратов времени, и мы получим площадь земли в 16 раз.

ЭТОТ

положи его справаи положим 16 раз 13,75 му = 16*13,75*240 =52800 шагов слева, после отмены мы получаем $-3x^{2}-1800x+37200=0:$

ЭТОТ

Решите это уравнение, чтобы получить диаметр круга = 20 шагов, длину окружности = 60 шагов.

Том II

Проблемы с 23 по 42, 20 задач по всем решениям геометрии прямоугольника, заключенного в круг, с тянь юань шу.

Пример, задача 35

Предположим, у нас есть круглое поле с прямоугольным бассейном с водой в центре, а расстояние от угла до окружности составляет 17,5 шагов,а сумма длины и ширины бассейна составляет 85 шагов, каков диаметр круга, длина и ширина бассейна?

Ответ: Диаметр круга сто ступенек, длина бассейна 60 ступенек, ширина 25 ступеней.Метод: пусть один тянь юань равен диагонали прямоугольника, тогда диаметр круга равен одному тянь юаню плюс 17,5*2.

$x+35$

умножьте квадрат диаметра на $\pi \approx 3$ равна четырехкратной площади круга:

$3(x+35)^{2}=3x^{2}+210x+3675$

вычитая в четыре раза площадь земли, получаем:

в четыре раза больше площади бассейна = $3x^{2}+210x+3675-4x6000$= $3x^{2}+210x-20325$

сейчас

Квадрат суммы длины и ширины бассейна =85*85 =7225что в четыре раза больше площади бассейна плюс квадрат разницы его длины и ширины ( $(L-W)^{2}$)

Дальшеудвоенная площадь бассейна плюс $(L-W)^{2}$ равно $L^{2}+W^{2}$ = квадрат диагонали бассейнатаким образом

(четырехкратная площадь бассейна + квадрат разницы в размерах) - (удвоенная площадь бассейна + квадрат, если его разница в размерах)равно $7225-x^{2}$ = вдвое больше площади бассейна

поэтому в четыре раза больше площади бассейна = $2(7225-x^{2})$

приравняйте это к четырехкратной площади бассейна, полученной выше

$2(7225-x^{2})$ = $3x^{2}+210x-20325$

мы получаем квадратное уравнение $5x^{2}+210x-34775$=0Решите это уравнение, чтобы получить

• диагональ бассейна =65 шагов
• диаметр круга =65 +2*17,5 =100 шагов
• Длина - ширина =35 шагов
• Длина + ширина =85 шагов
• Длина =60 шагов
• Ширина =25 шагов

Том III

Задача с 42 по 64, всего 22 вопроса по математике более сложных диаграмм.

Вопрос: пятьдесят четвертый. Имеется квадратное поле, по диагонали которого лежит прямоугольный бассейн с водой. Площадь за пределами бассейна — тысяча сто пятьдесят шагов. При том, что от углов поля до прямых сторон бассейна четырнадцать шагов и девятнадцать шагов. Какова площадь квадратного поля, какова длина и ширина бассейна?

Ответ: Площадь квадратного поля — 40 квадратных шагов, длина бассейна — тридцать пять шагов, ширина — двадцать пять шагов.

Пусть ширина бассейна равна 1 Тяньюань.

ЭТОТ

Прибавьте ширину бассейна к удвоенному расстоянию от угла поля до короткой длинной стороны бассейна, равному длине диагонали поля x+38.

ЭТОТ

Возведите его в квадрат, чтобы получить площадь квадрата с длиной диагонали бассейна в качестве сторон.

$x^{2}+76x+1444$

ЭТОТ

Длина бассейна минус ширина бассейна, умноженная на 2 = 2 (19-14) = 10.

Длина бассейна = ширина бассейна +10: x+10

ЭТОТ

Площадь бассейна = бассейн с умноженной на длину бассейна: x(x+10) = $x^{2}+10x$

ЭТОТ

Площадь времени пула 乘 1,96 ( квадратный корень из 2 ) = 1,4

у одного есть $1.96x^{2}+19.6x$

этот

Из площади диагонального квадрата вычесть площадь бассейна, умноженную на 1,96, и получим площадь земли, умноженную на 1,96:

$x^{2}+76x+1444$ - $1.96x^{2}+19.6x=$： $-0.96x^{2}+56.4x+1444$

ЭТОТ

Время занятого участка 1,96 =1150 * 1,96 =2254= $-0.96x^{2}+56.4x+1444$

следовательно = $-0.96x^{2}+56.4x-810$:

ЭТОТ

Решив это уравнение, получим

ширина бассейна 25 шаговследовательно, длина бассейна = ширина бассейна +10 = 35 шагов.длина бассейна = 45 шагов

Дальнейшее чтение

• Ёсио Миками «Развитие математики в Китае и Японии» , с. 81
• Аннотации Игу яньдуань, написанные математиком династии Цин Ли Жуем.