Функтор сигнализатора

В математике функтор -сигнализатор дает пересечения потенциальной подгруппы конечной группы с централизаторами нетривиальных элементов абелевой группы . дает Теорема о функторе сигнализатора условия, при которых функтор сигнализатора происходит из подгруппы. Идея состоит в том, чтобы попытаться построить $p'$-подгруппа конечной группы $G$, что имеет хорошие шансы быть нормальным в $G$, взяв в качестве образующих некоторые $p'$-подгруппы централизаторов неединичных элементов в одном или нескольких заданных нециклических элементарных абелевых $p$-подгруппы $G.$ Этот метод берет свое начало в теореме Фейта-Томпсона и впоследствии был разработан многими людьми, включая Дэниела Горенштейна, который определил функторы-сигнализаторы. Джордж Глауберман, доказавший теорему о разрешимом сигнализаторе-функторе для разрешимых групп, и Патрик Макбрайд, который доказал это для всех групп. Эта теорема необходима для доказательства так называемой «дихотомии», утверждающей, что данная неабелева конечная простая группа либо имеет локальную характеристику два, либо имеет компонентный тип. Таким образом, он играет важную роль в классификации конечных простых групп .

Определение

Пусть A — нециклическая элементарная абелева p -подгруппа конечной группы G. A -сигнализаторный функтор на G или просто сигнализаторный функтор, когда A и G ясны, представляет собой отображение θ из множества неединичных элементов группы A в множество A -инвариантные p′ -подгруппы группы G, удовлетворяющие следующим свойствам:

• Для всякой нетождественности $a\in A$, группа $\theta (a)$ содержится в $C_{G}(a).$
• Для всякой нетождественности $a,b\in A$, у нас есть $\theta (a)\cap C_{G}(b)\subseteq \theta (b).$

Второе условие выше называется состоянием баланса. Если подгруппы $\theta (a)$ все разрешимы , то функтор сигнализатора $\theta$ сама по себе называется разрешимой.

Теорема о разрешимом функторе сигнализатора

Данный $\theta ,$ некоторые дополнительные, относительно мягкие предположения позволяют доказать, что подгруппа $W=\langle \theta (a)\mid a\in A,a\neq 1\rangle$ из $G$ созданные подгруппами $\theta (a)$ на самом деле это $p'$-подгруппа. Теорема о разрешимом сигнализаторе-функторе, доказанная Глауберманом, утверждает, что это будет так, если $\theta$ разрешима и $A$ имеет как минимум три генератора. Теорема также утверждает, что при этих предположениях $W$ сама по себе будет разрешима.

Было доказано несколько более ранних версий теоремы: Горенштейн доказал это в более сильном предположении, что $A$ имел ранг не ниже 5. Дэвид Гольдшмидт доказал это, предположив, что $A$ имел ранг не ниже 4 или был 2-группой ранга не ниже 3. Гельмут Бендер дал простое доказательство для 2-групп, используя теорему ZJ : и Пол Флавелл дал аналогичное доказательство для всех простых чисел. Глауберман дал окончательный результат для разрешимых функторов-сигнализаторов. Используя классификацию конечных простых групп, Макбрайд показал, что $W$ это $p'$-группа без предположения, что $\theta$ разрешима.

Полнота

Терминология полноты часто используется при обсуждении функторов-сигнализаторов. Позволять $\theta$ будет функтором-сигнализатором, как указано выше, и рассмотрим набор ˆ всех $A$-инвариант $p'$-подгруппы $H$ из $G$ удовлетворяющее следующему условию:

• $H\cap C_{G}(a)\subseteq \theta (a)$ за всю неидентичность $a\in A.$

Например, подгруппы $\theta (a)$ принадлежат И по условию баланса. Функтор сигнализатора $\theta$ называется полным, если И имеет единственный максимальный элемент при упорядочении по содержанию. В этом случае можно показать, что единственный максимальный элемент совпадает с $W$ выше, и $W$ называется завершением ​ $\theta$. Если $\theta$ является полным, и $W$ оказывается разрешимой, то $\theta$ называется разрешимо полной.

Таким образом, теорему о разрешимом функторе сигнализатора можно перефразировать, сказав, что если $A$ имеет не менее трех образующих, то каждое разрешимое $A$-Функтор сигнализатора включен $G$ разрешимо полно.

Примеры функторов сигнализаторов

Самый простой способ получить функтор сигнализатора — начать с $A$-инвариант $p'$-подгруппа $M$ из $G,$ и определить $\theta (a)=M\cap C_{G}(a)$ за всю неидентичность $a\in A.$ Однако на практике начинают с $\theta$ и использует его для построения $A$-инвариант $p'$-группа.

Самый простой функтор сигнализатора, используемый на практике, таков:

$\theta (a)=O_{p'}(C_{G}(a)).$

Здесь необходимо сказать несколько слов предостережения. Во-первых, обратите внимание, что $\theta (a)$ как определено выше, действительно является $A$-инвариант $p'$-подгруппа $G$ потому что $A$ является абелевым. Однако необходимы некоторые дополнительные предположения, чтобы показать, что это $\theta$ удовлетворяет условию баланса. Одним из достаточных критериев является то, что для каждой нетождественности $a\in A,$ группа $C_{G}(a)$ разрешимо (или $p$- разрешимая или даже $p$-ограниченный). Проверка состояния баланса для этого $\theta$ при этом предположении требуется знаменитая лемма, известная как лемма Томпсона. $P\times Q$-лемма.

Сопростое действие

Чтобы лучше понять функторы-сигнализаторы, важно знать следующий общий факт о конечных группах:

• Позволять $E$ — абелева нециклическая группа, действующая на конечной группе $X.$ Предположим, что заказы $E$ и $X$ являются относительно простыми. Затем

$X=\langle C_{X}(E_{0})\mid E_{0}\subseteq E,{\text{ and }}E/E_{0}{\text{ cyclic }}\rangle$

Чтобы доказать этот факт, используется теорема Шура–Цассенхауза, показывающая, что для каждого простого числа $q$ деление порядка $X,$ группа $X$ имеет $E$-инвариант Силова $q$-подгруппа. Это сводится к случаю, когда $X$ это $q$-группа. Тогда рассуждение по индукции порядка $X$ сводит утверждение далее к случаю, когда $X$ элементарно абелева с $E$ действует неустранимо. Это заставляет группу $E/C_{E}(X)$ быть циклическим, и результат следующий. см. в книгах Aschbacher (2000) или Kurzweil & Stellmacher (2004) Подробности .

Это используется как при доказательстве, так и при применении теоремы о разрешимом сигнализаторе-функторе. Для начала заметим, что из этого сразу следует утверждение, что если $\theta$ полно, то его завершением является группа $W$ определено выше.

Нормальное завершение

Завершение функтора-сигнализатора имеет «хорошие шансы» быть нормальным в $G,$ судя по началу статьи. Здесь для обоснования этого утверждения будет использован факт взаимно простого действия. Позволять $\theta$ быть полным $A$-Функтор сигнализатора включен $G$

Позволять $B$ — нециклическая подгруппа группы $A.$ Тогда из факта взаимно простого действия вместе с условием равновесия следует, что $W=\langle \theta (a)\mid a\in A,a\neq 1\rangle =\langle \theta (b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle$.

Чтобы увидеть это, заметьте, что, поскольку $\theta (a)$ является B -инвариантом, мы имеем

$\theta (a)=\langle \theta (a)\cap C_{G}(b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle \subseteq \langle \theta (b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle .$

В приведенном выше равенстве используется факт взаимно простого действия, а вложенность использует условие баланса. Сейчас часто бывает так, что $\theta$ удовлетворяет условию «эквивариантности», а именно, что для каждого $g\in G$ и нетождественность $a\in A$

$\theta (a^{g})=\theta (a)^{g}.\,$

Верхний индекс обозначает сопряжение $g.$ Например, отображение $a\mapsto O_{p'}(C_{G}(a))$, который часто является функтором сигнализатора, удовлетворяет этому условию. Если $\theta$ удовлетворяет эквивариантности, то нормализатор $B$ нормализуется $W.$ Отсюда следует, что если $G$ порождается нормализаторами нециклических подгрупп группы $A,$ затем завершение $\theta$ (т.е. W) является нормальным в $G.$

Ссылки

• Ашбахер, Майкл (2000), Теория конечных групп , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-78675-1
• Курцвейл, Ганс; Штелмахер, Бернд (2004), Теория конечных групп , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97433 , ISBN  978-0-387-40510-0 , МР   2014408