Сколько обходится LC?

LC-цепь может быть квантована теми же методами, что и квантовый гармонический генератор . LC -цепь представляет собой разновидность резонансного контура и состоит из катушки индуктивности , обозначенной буквой L, и конденсатора , обозначенного буквой C. При соединении вместе электрический ток контура может чередоваться между ними на резонансной частоте :

$\omega ={\sqrt {1 \over LC}}$

где L — индуктивность в генри , а C — емкость в фарадах . частота Угловая $\omega \,$ имеет единицы радианы в секунду. Конденсатор запасает энергию в электрическом поле между обкладками, которое можно записать следующим образом:

$U_{C}={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}$

Где Q — чистый заряд конденсатора, рассчитываемый как

$Q(t)=\int _{-\infty }^{t}I(\tau )d\tau$

Аналогично, индуктор запасает энергию в магнитном поле в зависимости от тока, что можно записать следующим образом:

$U_{L}={\frac {1}{2}}LI^{2}={\frac {\phi ^{2}}{2L}}$

Где $\phi$ – поток ветвей, определяемый как

$\phi (t)\equiv \int _{-\infty }^{t}V(\tau )d\tau$

Поскольку заряд и поток являются канонически сопряженными переменными , можно использовать каноническое квантование, чтобы переписать классический гамильтониан в квантовом формализме, идентифицируя

$\phi \rightarrow {\hat {\phi }}$

$q\rightarrow {\hat {q}}$

$H\rightarrow {\hat {H}}={\frac {{\hat {\phi }}^{2}}{2L}}+{\frac {{\hat {q}}^{2}}{2C}}$

и соблюдение канонического коммутационного соотношения

$\left[{\hat {\phi }},{\hat {q}}\right]=i\hbar$

Одномерный гармонический осциллятор

Гамильтониан и собственные состояния энергии

Представления волновой функции для первых восьми связанных собственных состояний, n = от 0 до 7. Горизонтальная ось показывает положение x . Графики не нормализованы.

Плотности вероятности | ψ _п ( Икс )| ² для связанных собственных состояний, начиная с основного состояния ( n = 0) внизу и увеличивая энергию кверху. Горизонтальная ось показывает положение x , а более яркие цвета обозначают более высокие плотности вероятности.

Как и проблема одномерного гармонического генератора, LC-схему можно квантовать либо путем решения уравнения Шредингера, либо с помощью операторов рождения и уничтожения. Энергию, запасенную в индукторе, можно рассматривать как «термину кинетической энергии», а энергию, запасенную в конденсаторе, можно рассматривать как «термину потенциальной энергии».

Гамильтониан такой системы:

$H={\frac {\phi ^{2}}{2L}}+{\frac {1}{2}}L\omega ^{2}Q^{2}$

где Q — оператор заряда, а $\phi$ – оператор магнитного потока. Первый член представляет собой энергию, запасенную в катушке индуктивности, а второй член представляет собой энергию, запасенную в конденсаторе. Чтобы найти уровни энергии и соответствующие им собственные состояния энергии, мы должны решить независимое от времени уравнение Шредингера:

$H|\psi \rangle =E|\psi \rangle \$

$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2L}}\nabla ^{2}\psi +{\frac {1}{2}}L\omega ^{2}Q^{2}\psi$

Поскольку LC-цепь действительно является электрическим аналогом гармонического генератора, решение уравнения Шредингера дает семейство решений (полиномы Эрмита).

$\left\langle Q|\psi _{n}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {L\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {L\omega Q^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {L\omega }{\hbar }}}Q\right)$

$n=0,1,2,\ldots$

Магнитный поток как сопряженная переменная

Полностью эквивалентное решение можно найти, используя магнитный поток в качестве сопряженной переменной, где сопряженный «импульс» равен емкости, умноженной на производную магнитного потока по времени. Сопряженный «импульс» на самом деле является зарядом.

$\pi =C{\frac {d\phi }{dt}}$

Используя правило соединения Кирхгофа, можно получить следующее соотношение:

$C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}V\,dt\,=0$

С $V={\frac {d\phi }{dt}}$, приведенное выше уравнение можно записать следующим образом:

$C{\frac {d^{2}\phi }{dt^{2}}}+{\frac {1}{L}}\phi \,=0$

Преобразовав это в гамильтониан, можно составить уравнение Шредингера следующим образом:

$i\hbar {\frac {d\psi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2C}}\nabla ^{2}\psi +{\frac {\phi ^{2}}{2L}}\psi$ где $\psi$ является функцией магнитного потока

Квантование связанных LC-цепей

Два индуктивно связанных LC-контура имеют ненулевую взаимную индуктивность. Это эквивалентно паре гармонических осцилляторов с кинетической связью.

Лагранжиан для индуктивно связанной пары LC-цепей выглядит следующим образом:

$L={\frac {1}{2}}L_{1}{\frac {dQ_{1}}{dt}}^{2}+{\frac {1}{2}}L_{2}{\frac {dQ_{2}}{dt}}^{2}+m{\frac {dQ_{1}}{dt}}{\frac {dQ_{2}}{dt}}-{\frac {Q_{1}^{2}}{2C_{1}}}-{\frac {Q_{2}^{2}}{2C_{2}}}$

Как обычно, гамильтониан получается преобразованием Лежандра лагранжиана.

$H={\frac {1}{2}}L_{1}{\frac {dQ_{1}}{dt}}^{2}+{\frac {1}{2}}L_{2}{\frac {dQ_{2}}{dt}}^{2}+m{\frac {dQ_{1}}{dt}}{\frac {dQ_{2}}{dt}}+{\frac {Q_{1}^{2}}{2C_{1}}}+{\frac {Q_{2}^{2}}{2C_{2}}}$

Превращение наблюдаемых в квантово-механические операторы дает следующее уравнение Шредингера.

$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2L_{1}}}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{1}^{2}}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2L_{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{2}^{2}}}-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{1}dQ_{2}}}+{\frac {1}{2}}L_{1}\omega ^{2}Q_{1}^{2}\psi +{\frac {1}{2}}L_{2}\omega ^{2}Q_{2}^{2}\psi$

Дальнейшее использование указанных координат невозможно из-за связанного члена. Однако преобразование координат от волновой функции как функции обоих зарядов к волновой функции как функции разности зарядов $Q_{d}$, где $Q_{d}=Q_{1}-Q_{2}$ и координата $Q_{c}$(несколько аналогично «центру масс»), вышеуказанный гамильтониан можно решить, используя технику разделения переменных.

Координата CM показана ниже:

$Q_{c}={\frac {L_{1}Q_{1}+L_{2}Q_{2}}{L_{1}+L_{2}}}$

Гамильтониан в новой системе координат имеет следующий вид:

$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}(1-\lambda )}{2(L_{1}+L_{2})}}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{c}^{2}}}-{\frac {\hbar ^{2}(1-\lambda )}{2\mu }}{\frac {d^{2}\psi }{dQ_{d}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}Q_{d}^{2}\psi$

В приведенном выше уравнении $\lambda$ равно ${\frac {2m}{L_{1}+L_{2}}}$ и $\mu$ соответствует приведенной индуктивности.

Метод разделения переменных дает два уравнения: одно для координаты «CM», которое является дифференциальным уравнением свободной частицы, а другое для координаты разности зарядов, которое представляет собой уравнение Шредингера для гармонического осциллятора.

$E\psi _{c}=-{\frac {\hbar ^{2}(1-\lambda )}{2(L_{1}+L_{2})}}{\frac {d^{2}\psi _{c}}{dQ_{c}^{2}}}$

$E\psi _{d}=-{\frac {\hbar ^{2}(1-\lambda )}{2\mu }}{\frac {d^{2}\psi _{d}}{dQ_{d}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}Q_{d}^{2}\psi _{d}$

Решение первого дифференциального уравнения после добавления зависимости от времени напоминает плоскую волну, а решение второго дифференциального уравнения показано выше.

гамильтонова механика

Классический случай

Запасенная энергия (гамильтониан) для классической LC-цепи:

${\mathcal {H}}={\frac {q^{2}(t)}{2C}}+{\frac {p^{2}(t)}{2L}}\$

Уравнения гамильтониана:

${\frac {\partial {\mathcal {H}}(q,p)}{\partial q}}={\frac {q(t)}{C}}=-{\dot {p}}(t)\$

${\frac {\partial {\mathcal {H}}(q,p)}{\partial p}}={\frac {p(t)}{L}}=-{\dot {q}}(t)\$,

где $q(t)=Cv(t)\$ накопленный заряд конденсатора (или электрический поток) и $p(t)=Li(t)\$ магнитный момент (магнитный поток), $v(t)-\$ напряжение конденсатора и $i(t)-\$ индуктивный ток, $t-\$ переменная времени.

Ненулевые начальные условия: В $q(0),p(0)\$ мы будем иметь частоту колебаний:

$\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\$,

и волновое сопротивление LC-цепи (без диссипации):

$\rho ={\sqrt {\frac {L}{C}}}\$

Решения уравнений гамильтониана: В $t\geq 0\$ мы будем иметь следующие значения зарядов, магнитного потока и энергии:

$\mathbf {q} =q(0)+j{\frac {p(0)}{\omega L}}\$

$<q(t)=Re[\mathbf {q} e^{-j\omega t}]\$

$p(t)=Im[\omega L\mathbf {q} e^{-j\omega t}]\$

${\mathcal {H}}={\frac {|\mathbf {q} |^{2}}{2C}}=constant\$

Определение фазора

В общем случае амплитуды волн можно определить в комплексном пространстве

$a(t)=a_{1}(t)+ja_{2}(t)\$

где $j={\sqrt {-1}}\$.

$a_{1}(t)={\frac {q(t)}{q(0)}}\$,

где $q(0)=D(0)S_{C}={\sqrt {\frac {2\hbar }{\rho }}}\$ – электрический заряд в нулевой момент времени, $S_{C}-\$ область емкости.

$a_{2}(t)={\frac {p(t)}{p(0)}}\$,

где $p(0)={\sqrt {2\hbar \rho }}\$ – магнитный поток в нулевой момент времени, $S_{L}-\$ область индуктивности. Заметим, что при одинаковой площади элементов

$S_{C}=S_{L}=S_{q}\$

мы будем иметь следующее соотношение для волнового сопротивления:

$\rho ={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {q(0)}{p(0)}}$.

Амплитуда и энергия волны могут быть определены как:

$a(t)=ae^{-j\omega t}\$

${\mathcal {H}}=\hbar \omega [a_{1}^{2}(t)+a_{2}^{2}(t)]=\hbar \omega |a|^{2}\$.

Квантовый случай

В квантовом случае мы имеем следующее определение оператора импульса:

${\hat {p}}=-j\hbar {\frac {\partial }{\partial q}}$

Операторы импульса и заряда создают следующий коммутатор:

$[{\hat {q}},{\hat {p}}]=j\hbar \$.

Оператор амплитуды можно определить как:

${\hat {a}}={\hat {a_{1}}}+j{\hat {a_{2}}}={\frac {\hat {q}}{q_{0}}}+j{\frac {\hat {p}}{p_{0}}}\$,

и фазор:

${\hat {a(t)}}={\hat {a}}e^{-j\omega t}\$.

Оператором Гамильтона будет:

${\hat {\mathcal {H}}}\hbar \omega [{\hat {a}}_{1}^{2}(t)+{\hat {a}}_{2}^{2}(t)]=\hbar \omega [{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }+1/2]\$

Амплитуды коммутаторов:

$[{\hat {a}}_{1}(t),{\hat {a}}_{2}(t)]=j/2\$

$[{\hat {a}}(t),{\hat {a}}^{\dagger }(t)]=1\$.

Принцип неопределенности Гейзенберга:

$\langle \Delta {\hat {a}}_{1}^{2}(t)\rangle \langle \Delta {\hat {a}}_{2}^{2}(t)\rangle \geq {\frac {1}{16}}\$.

Волновое сопротивление свободного пространства

Когда волновое сопротивление квантового LC-контура принимает значение свободного пространства

$\rho _{0}={\sqrt {\frac {L_{0}}{C_{0}}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=2\alpha {\frac {h}{e^{2}}}=2\alpha R_{H}$,

где $e-\$ заряд электрона, $\alpha -\$ константа тонкой структуры и $R_{H}-\$ постоянная фон Клитцинга тогда «электрический» и «магнитный» потоки в нулевой момент времени будут:

$q_{0}={\sqrt {\frac {2\hbar }{\rho _{0}}}}={\frac {e}{\sqrt {2\pi \alpha }}}\$

$p_{0}={\sqrt {2\hbar \rho _{0}}}=\phi _{0}{\sqrt {\frac {2\alpha }{\pi }}}\$,

где $\phi _{0}={\frac {h}{e}}-\$ квант магнитного потока.

Квантовый ЖК-цикл парадоксален.

Общая формулировка

В классическом случае энергия LC-цепи составит:

$W_{LC}=W_{C}+W_{L},\$

где $W_{C}=0.5CV_{C}^{2}-\$ емкостная энергия и $W_{L}=0.5LI_{L}^{2}-\$ энергия индуктивности. Кроме того, существуют следующие зависимости между зарядами (электрическими или магнитными) и напряжениями или токами:

$Q_{C}=CV_{C}\$

$\Phi _{L}=LI_{L}.\$

Следовательно, максимальные значения энергий емкости и индуктивности будут:

$W_{max}=W_{LC}={\frac {Q_{C0}^{2}}{2C}}+{\frac {\Phi _{L0}^{2}}{2L}}.\$

Отметим, что резонансная частота $\omega _{0}=1/{\sqrt {LC}}\$ не имеет ничего общего с энергией в классическом случае. Но в квантовом случае она имеет следующую связь с энергией:

$W_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}={\frac {\hbar }{2{\sqrt {LC}}}}.\$

Итак, в квантовом случае, заполняя емкость одним электронным зарядом:

$Q_{C0}=e=CV_{C}\$ и $W_{C}={\frac {e^{2}}{2C}}.\$

Тогда соотношение между энергией емкости и энергией генератора основного состояния будет:

$\xi _{C}={\frac {W_{C}}{W_{0}}}={\frac {2\pi }{R_{H}}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}=2\pi \cdot {\frac {\rho _{q}}{R_{H}}}.\$

где $\rho _{q}={\sqrt {L/C}}\$ квантовый импеданс LC-цепи. Квантовый импеданс квантового LC-контура на практике может быть двух типов:

$\rho _{q}={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\begin{cases}\rho _{w}=2\alpha R_{H},&{\mbox{ – wave impedance }}\\\rho _{DOS}=R_{H},&{\mbox{ – DOS impedance }}\end{cases}}$

Итак, энергетические отношения будут:

$\xi _{C}={\frac {W_{C}}{W_{0}}}=2\pi {\frac {\rho _{q}}{R_{H}}}={\begin{cases}4\pi \alpha ,&{\mbox{at }}\rho _{w}\\2\pi ,&{\mbox{at }}\rho _{DOS}\end{cases}}$

и это основная проблема квантовой LC-цепи: энергии, запасенные в емкости и индуктивности, не равны энергии основного состояния квантового генератора . Эта энергетическая проблема порождает парадокс квантового LC-контура (QLCCP).

Возможное решение

Некоторое простое решение QLCCP можно найти следующим образом. Якимаха (1989) (уравнение 30) предложил следующее определение квантового импеданса DOS:

$\rho _{DOS}^{ij}={\frac {\Delta \Phi _{j}}{\Delta Q_{i}}}={\frac {i}{j}}R_{H},\$

где $\Delta \Phi _{j}=j\Phi _{0}-\$ магнитный поток и $\Delta Q_{i}=ie-\$ электрический поток, $i,j=integer.$

Итак, в квантовом LC-контуре нет электрических или магнитных зарядов, а есть только электрический и магнитный потоки. Поэтому не только в LC-цепи ДОС, но и в других LC-цепях присутствуют только электромагнитные волны. Таким образом, квантовый LC-контур представляет собой минимальную геометрическо-топологическую величину квантового волновода, в котором нет ни электрических, ни магнитных зарядов, а есть только электромагнитные волны. Теперь следует рассматривать квантовый LC-контур как «черный волновой ящик» (ЧВБ), который не имеет электрических или магнитных зарядов, а имеет волны. Более того, эта ПП может быть «закрытой» (в атоме Бора или в вакууме для фотонов) или «открытой» (как в случае КЭХ и джозефсоновского перехода). Итак, квантовая LC-схема должна иметь ШБП и дополнения «вход-выход». Общий энергетический баланс следует рассчитывать с учетом «входных» и «выходных» устройств. Без устройств «ввода-вывода» энергии, «запасенные» на емкостях и индуктивностях, являются виртуальными или «характеристиками», как в случае характеристического сопротивления (без диссипации). Очень близки к этому подходу сейчас Деворе (2004), которые рассматривают джозефсоновские переходы с квантовой индуктивностью, импеданс Датта волн Шредингера (2008) и Цу (2008), которые рассматривают квантовые волноводы.

Объяснение квантовой LC-схемы DOS

Как показано ниже, резонансная частота для КЭХ равна:

$\omega _{Q}={\sqrt {\frac {1}{L_{QA}C_{QA}}}}={\frac {\omega _{B}}{2\pi }},\$

где $\omega _{B}=eB/m-\$циклотронная частота, $L_{QA}={\frac {4\pi R_{H}}{\omega _{B}}}\$ и $C_{QA}={\frac {4\pi }{R_{H}\omega _{B}}}.\$ Масштабирующий ток для QHE будет:

$I_{B}={\frac {e\omega _{B}}{4\pi }}.\$

Следовательно, энергия индуктивности будет:

$W_{L}={\frac {L_{QA}I_{B}^{2}}{2}}={\frac {\hbar \omega _{B}}{4}}.\$

Итак, для квантового магнитного потока $\Phi _{0}=h/e\$, энергия индуктивности вдвое меньше энергии колебаний основного состояния. Это связано со спином электрона (на уровне Ландау на одном элементе квантовой площади находятся два электрона). Следовательно, энергия индуктивности/емкости учитывает полную энергию уровня Ландау на спин.

Объяснение «волновой» квантовой LC-схемы

По аналогии со схемой ДОС LC имеем

$W_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {W_{C}}{2\pi \alpha }}={\frac {\gamma _{BY}W_{C}}{2}}\$

в два раза меньшее значение из-за вращения. Но здесь есть новая безразмерная фундаментальная константа:

$\gamma _{BY}={\frac {1}{2\pi \alpha }}\$

который рассматривает топологические свойства квантовой LC-цепи. Эта фундаментальная константа впервые появилась в атоме Бора для радиуса Бора:

$a_{B}=\gamma _{BY}\cdot \lambda _{0},\$

где $\lambda _{0}=h/m_{0}c-\$ Комптоновская длина волны электрона.

Таким образом, волновой квантовый LC-контур не имеет зарядов, а содержит только электромагнитные волны. Таким образом, «характеристические энергии» емкости или индуктивности $\gamma _{BY}-\$раз меньше полной энергии осциллятора. Другими словами, заряды «исчезают» на «входе» и «генерируются» на «выходе» волнового LC-контура, добавляя энергии для поддержания баланса.

Полная энергия квантового LC-контура

Энергия, запасенная на квантовой емкости:

$W_{C}={\frac {Q_{C}^{2}}{2C}}=2\pi \alpha W_{LC}.\$

Энергия, запасенная на квантовой индуктивности:

$W_{L}={\frac {\Phi _{L}^{2}}{2L}}=2\pi \alpha W_{LC}.\$

Резонансная энергия квантового LC-контура:

$W_{LC}=\hbar \omega _{LC}={\frac {\hbar }{\sqrt {LC}}}.\$

Таким образом, полная энергия квантового LC-контура должна составлять:

$W_{tot}=W_{LC}+W_{C}+W_{L}.\$

В общем случае резонансная энергия $W_{LC}\$ может быть связано с «массой покоя» электрона, энергетической щелью атома Бора и т. д. Однако энергия, запасенная на емкости $W_{C}\$ происходит за счет электрического заряда. Фактически, для ЖК-цепей со свободными электронами и атомами Бора мы имеем квантованные электрические потоки, равные заряду электрона: $e\$.

Кроме того, энергия, запасенная на индуктивности $W_{L}\$ происходит за счет магнитного импульса. На самом деле, для атома Бора мы имеем Магнетон Бора:

$\mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m_{0}}}=0.5e\nu _{B}S_{B}={\frac {ea_{B}^{2}}{\sqrt {L_{B}C_{B}}}}.\$

В случае свободного электрона магнетон Бора будет:

$\mu _{e}=0.5e\nu _{e}S_{e}=0.5e{\frac {m_{0}c^{2}}{h}}{\frac {\lambda _{0}^{2}}{2\pi }}={\frac {e\hbar }{2m_{0}}},\$

то же, что и для атома Бора.

Приложения

Электрон как LC-цепь

Электронную емкость можно представить как сферический конденсатор:

$C_{e}={\frac {4\pi \epsilon _{0}}{{\frac {1}{r_{e}}}-{\frac {1}{r_{e}+\lambda _{0}}}}}={\frac {\epsilon _{0}\lambda _{0}}{2\pi }},\$

где $r_{e}={\frac {\lambda _{0}}{2{\sqrt {2}}\pi }}-\$ радиус электрона и $\lambda _{0}-\$Комптоновская длина волны.

Обратите внимание, что этот радиус электрона соответствует стандартному определению спина. Действительно, вращательный момент электрона равен:

$l_{e}=m_{0}\omega _{e}r_{e}^{2}=\hbar /2,\$

где $\omega _{e}=m_{0}c^{2}/\hbar \$ считается.

Сферическая индуктивность электрона:

$L_{e}={\frac {\mu _{0}\lambda _{0}}{2\pi }}.\$

Характеристическое сопротивление электрона:

$\rho _{e}={\sqrt {\frac {L_{e}}{C_{e}}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=\rho _{0}=2\alpha R_{H}.\$

Резонансная частота электронного LC-контура:

$\omega _{e}={\sqrt {\frac {1}{L_{e}C_{e}}}}={\frac {2\pi c}{\lambda _{0}}}={\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}.\$

Наведенный электрический поток на электронную емкость:

$Q_{e}=C_{e}V_{e}.\$

Энергия, запасенная на электронной емкости:

$W_{Ce}={\frac {C_{e}V_{e}^{2}}{2}}={\frac {Q_{e}^{2}}{2C_{e}}}=2\pi \alpha W_{0},\$

где $W_{0}=m_{0}c^{2}-\$ – это «энергия покоя» электрона. Итак, наведенный электрический поток будет:

$Q_{e}={\sqrt {2\alpha m_{0}c^{2}\epsilon _{0}\lambda _{0}}}=e.\$

Таким образом, через электронную емкость мы имеем квантованный электрический поток, равный заряду электрона.

Магнитный поток через индуктивность:

$\Phi _{e}=L_{e}I_{e}.\$

Магнитная энергия, запасенная на индуктивности:

$W_{Le}={\frac {L_{e}I_{e}^{2}}{2}}={\frac {\Phi _{e}^{2}}{2L_{e}}}=2\pi \alpha W_{0}.\$

Итак, наведенный магнитный поток будет:

$\Phi _{e}={\sqrt {2\mu _{0}hc\alpha }}=2\alpha \Phi _{0}.\$

где $\Phi _{0}=h/e-\$ квант магнитного потока. Таким образом, за счет электронной индуктивности не происходит квантования магнитного потока.

Атом Бора как LC-цепь

Радиус Бора:

$a_{B}={\frac {\lambda _{0}}{2\pi \alpha }}\$

где $\lambda _{0}={\frac {h}{m_{0}c}}-\$ Комптоновская длина волны электрона, $\alpha -\$ постоянная тонкой структуры.

Атомная поверхность Бора:

$S_{B}=4\pi a_{B}^{2}\$.

Индуктивность Бора:

$L_{B}={\frac {\mu _{0}}{\lambda _{0}}}\cdot S_{B}\$.

Боровская емкость:

$C_{B}={\frac {\epsilon _{0}}{\lambda _{0}}}\cdot S_{B}\$.

Волновое сопротивление Бора:

$\rho _{B}={\sqrt {\frac {L_{B}}{C_{B}}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=\rho _{0}.\$

Угловая частота Бора:

$\omega _{B}={\sqrt {\frac {1}{L_{B}C_{B}}}}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\cdot {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}={\frac {2\pi c}{\lambda _{B}}},\$

где $\lambda _{B}={\frac {4\pi a_{B}}{\alpha }}-\$ Длина волны Бора для первого уровня энергии.

Индуцированный электрический поток первого уровня энергии Бора:

$Q_{B}=C_{B}V_{B}.\$

Энергия, запасенная на емкости Бора:

$W_{C}B={\frac {C_{B}V_{B}^{2}}{2}}={\frac {Q_{B}^{2}}{2C_{B}}}=2\pi \alpha W_{B},\$

где $W_{B}=\hbar \omega _{B}-\$ – энергия Бора. Итак, наведенный электрический поток будет:

$Q_{B}={\sqrt {2\pi \alpha ^{3}m_{0}c^{2}C_{B}}}=e.\$

Таким образом, через емкость Бора мы квантоваем электрический поток, равный заряду электрона.

Магнитный поток через индуктивность Бора:

$W_{L}B={\frac {L_{B}I_{B}^{2}}{2}}={\frac {\Phi _{B}^{2}}{2L_{B}}}=2\pi \alpha W_{0}.\$

Итак, наведенный магнитный поток будет:

$\Phi _{B}={\frac {\pi \alpha ^{2}ec}{\lambda _{0}}}L_{B}=2\alpha \Phi _{0}.\$

Таким образом, за счет индуктивности Бора не происходит квантования магнитного потока.

Фотон как LC-цепь

Фотонная «резонансная угловая частота»:

$\omega _{w}={\sqrt {\frac {1}{L_{w}C_{w}}}}.\$

«Волновой импеданс» фотона:

$\rho _{w}={\sqrt {\frac {L_{w}}{C_{w}}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}=\rho _{0}.\$

Фотонная «волновая индуктивность»:

$L_{w}={\frac {\rho _{0}}{\omega _{w}}}.\$

«Волновая емкость» фотона:

$C_{w}={\frac {1}{\rho _{0}\omega _{w}}}.\$

Фотон «квант магнитного потока»:

$\phi _{w}=L_{w}I_{w}=\phi _{0}={\frac {h}{e}}.\$

Фотонный «волновой ток»:

$I_{w}={\frac {h}{eL_{w}}}={\frac {e\omega _{w}}{2\alpha }}.\$

Квантовый эффект Холла как LC-цепь

В общем случае 2D-плотность состояний (ПСО) в твердом теле можно определить следующим образом:

$D_{2D}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}\$,

где $m^{*}=\xi m_{0}-\$ эффективная масса носителей тока в твердом теле, $m_{0}-\$ масса электрона и $\xi -\$ безразмерный параметр, учитывающий зонную структуру твердого тела. Итак, квантовую индуктивность можно определить следующим образом:

$L_{QL}=\phi _{0}^{2}\cdot D_{2D}=\xi \cdot L_{Q0}$,

где $L_{Q0}8\pi \beta \cdot L_{QY}\$ – «идеальное значение» квантовой индуктивности при $\xi =1\$ и еще одна идеальная квантовая индуктивность:

$L_{QY}={\frac {\mu _{0}}{\lambda _{0}}}=H/m^{2}\$, (3)

где $\mu _{0}-\$ магнитная постоянная , $\beta ={\frac {1}{4\alpha }}-\$ магнитная « постоянная тонкой структуры » (стр. 62), $\alpha -\$ постоянная тонкой структуры и $\lambda _{0}-\$ Комптоновская длина волны электрона, впервые определённая Якимахой (1994). в спектроскопических исследованиях кремниевых МОП-транзисторов.

Поскольку определенная выше квантовая индуктивность рассчитана на единицу площади, следовательно, ее абсолютное значение будет в режиме КЭХ:

$L_{QA}={\frac {L_{QL}}{n_{B}}}\$,

где концентрация носителей равна:

$n_{B}={\frac {eB}{h}}\$,

и $h-\$ — постоянная Планка. По аналогии абсолютное значение квантовой емкости будет в режиме КЭХ:

$C_{QA}={\frac {C_{QL}}{n_{B}}}\$,

где

$C_{QL}=e^{2}\cdot D_{2D}=\xi \cdot C_{Q0}$,

это DOS-определение квантовой емкости по Лурому, $C_{Q0}=8\pi \alpha \cdot C_{QY}\$ – квантовая емкость «идеального значения» при $\xi =1\$и другие квантовые емкости:

$C_{QY}={\frac {\epsilon _{0}}{\lambda _{0}}}=3.6492417F/m^{2}\$,

где $\epsilon _{0}-\$ диэлектрическая проницаемость , впервые определённая Якимахой (1994). в спектроскопических исследованиях кремниевых МОП-транзисторов. Стандартное определение волнового импеданса для LC-цепи QHE можно представить как:

$\rho _{Q}={\sqrt {\frac {L_{QA}}{C_{QA}}}}={\sqrt {\frac {\phi _{0}^{2}}{e^{2}}}}={\frac {h}{e^{2}}}=R_{H}\$,

где $R_{H}={\frac {h}{e^{2}}}=25.812813k\Omega \$ постоянная фон Клитцинга для сопротивления.

Стандартное определение резонансной частоты для LC-цепи QHE можно представить как:

$\omega _{Q}={\frac {1}{\sqrt {L_{QA}C_{QA}}}}={\frac {\hbar \omega _{c}}{\phi _{0}e}}={\frac {\omega _{c}}{2\pi }}$,

где $\omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}}}-\$ стандартная циклотронная частота в магнитном поле Б.

Квант тока масштабирования Холла будет равен

$I_{H}={\frac {h}{eL_{QA}}}={\frac {e\omega _{B}}{4\pi }}\$,

где $\omega _{B}={\frac {eB}{m^{*}}}-\$ Угловая частота Холла.

Джозефсоновский переход как LC-цепь

Закон электромагнитной индукции (Фарадея):

$V_{ind}={\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=-L{\frac {\partial I}{\partial t}},\$

где $\Phi -\$ магнитный поток, $L-\$ Квантовая индуктивность джозефсоновского перехода и $I-\$ Ток джозефсоновского перехода. Уравнение постоянного тока Джозефсона для тока:

$I=I_{J}\cdot \sin \phi ,\$

где $I_{J}-\$ шкала Джозефсона для тока, $\phi -\$ разность фаз между сверхпроводниками. Производная тока по переменной времени будет равна:

${\frac {\partial I}{\partial t}}=I_{J}\cos \phi \cdot {\frac {\partial \phi }{\partial t}}.\$

Уравнение AC Джозефсона:

${\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {q}{\hbar }}V={\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V,\$

где $\hbar -\$ уменьшенная постоянная Планка, $\Phi _{0}=h/2e-$ Квант джозефсоновского магнитного потока, $q=2e\$ и $e-\$ заряд электрона. Объединение уравнений для производных дает напряжение перехода:

$V={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{J}}}\cdot {\frac {1}{\cos \phi }}\cdot {\frac {\partial I}{\partial t}}=L_{J}\cdot {\frac {\partial I}{\partial t}},\$

где

$L_{J}={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{J}}}\cdot {\frac {1}{\cos \phi }}\$

это Деворет (1997) квантовая индуктивность.

Уравнение AC Джозефсона для угловой частоты:

$\omega _{J}={\frac {q}{\hbar }}\cdot V.\$

Резонансная частота для джозефсоновской LC-цепи:

$\omega _{J}={\sqrt {\frac {1}{L_{J}C_{J}}}}.\$

где $C_{J}-\$ — квантовая емкость Деворе, которую можно определить как:

$C_{J}={\frac {1}{L_{J}\omega _{J}^{2}}}={\frac {\Phi _{0}I_{J}}{V_{0}^{2}}}\cdot {\frac {\cos \phi }{2\pi }}.\$

Квантовый волновой импеданс джозефсоновского перехода:

$\rho _{J}={\sqrt {\frac {L_{J}}{C_{J}}}}={\frac {V_{0}}{I_{J}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\cos \phi }}}.\$

Для $V_{0}=0,1$мВ и $I_{J}=0,2\mu$Волновое сопротивление будет $\rho _{J}=500\Omega .\$

Плоский атом как LC-цепь

Квантовая емкость плоского атома (FA):

$C_{F0}={\frac {\epsilon _{0}}{\lambda _{0}}}\cdot S_{F0}=5.1805\cdot 10^{-7}\$ Ф,

где $\lambda _{0}={\frac {h}{m_{0}c}}\$.

Квантовая индуктивность ТВС:

$L_{F0}={\frac {\mu _{0}}{\lambda _{0}}}\cdot S_{F0}=7.3524\cdot 10^{-2}\$ ЧАС.

Квантовый элемент площади ТВС:

$S_{F0}={\frac {\lambda _{0}c}{\omega _{F0}}}={\frac {h}{m_{0}\omega _{F0}}}=1.4196\cdot 10^{-7}\$ м ² .

Резонансная частота ТВС:

$\omega _{F0}={\sqrt {\frac {1}{L_{F0}C_{F0}}}}=5123.9\$ рад/с.

Характеристическое сопротивление ТВС:

$\rho _{F0}={\sqrt {\frac {L_{F0}}{C_{F0}}}}=\rho _{0}=2\alpha R_{H},\$

где $\rho _{0}\$ - сопротивление свободного пространства .

Суммарный электрический заряд на первом энергетическом уровне ТВС:

$Q_{F1}=e{\sqrt {\frac {S_{F0}}{S_{B}}}}=2\cdot 10^{6}e\$,

где $S_{B}=4\pi a_{B}^{2}-\$ Квантовый элемент Бора. Первая ФК была открыта Якымахой (1994 г.). как очень низкочастотный резонанс на p-канальных МОП-транзисторах. В отличие от сферического атома Бора, ФА имеет гиперболическую зависимость от номера энергетического уровня (n)

$\omega _{F0n}={\frac {\omega _{F0}}{n}}.\$

См. также

• LC-цепь
• Гармонический осциллятор
• Квантовый гармонический осциллятор
• Квантовый электромагнитный резонатор

Источники

• У.Х. Луиселл, «Квантовые статистические свойства радиации» (Уайли, Нью-Йорк, 1973).
• Мишель Х. Деворет. Квантовые флуктуации в электрической цепи. PDF
• Фань Хун-и, Пань Сяо-инь.Phys.Lett № 9 (1998) 625 .
• Сюй, Син-Лэй; Ли, Хун-Ци; Ван, Цзи-Суо Квантовые флуктуации мезоскопической затухающей схемы RLC с двойным резонансом с взаимной емкостной индуктивной связью в состоянии теплового возбуждения. Китайская физика, том. 16, выпуск 8, стр. 2462–2470 (2007). [1]
• Хун-Ци Ли, Син-Лэй Сюй и Цзи-Суо Ван. Квантовые флуктуации тока и напряжения в термовакуумном состоянии мезоскопического пьезоэлектрического кристалла кварца. [2]
• Борис Я. Зельдович. Импеданс и параметрическое возбуждение генераторов. УФН, 2008, т. 178, № 5. PDF