Крест

«Цепстрал» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о компании, занимающейся преобразованием текста в речь, см. Cepstral (компания) .

В анализе Фурье кепстр ɛ ( / ˈ k ɛ p s t r ʌ m , ˈ s . p -, - s t r ə m / ; множественное число cepstra , прилагательное cepstral ) является результатом вычисления обратного преобразования Фурье (IFT) логарифма . предполагаемого спектра сигнала Метод является инструментом исследования периодических структур в частотных спектрах. Силовой кепстр находит применение при анализе человеческой речи .

Термин «кепстр» был получен путем перестановки первых четырех букв спектра . Операции с кепстрой называются квенрентным анализом (или квенрентным аланисисом). ), лифтинг , или кепстральный анализ . Его можно произносить двумя указанными способами, причем второй имеет то преимущество, что позволяет избежать путаницы с кепструмом .

Этапы формирования кепстра по истории времени

Происхождение

Понятие кепстра было введено в 1963 году Б. П. Богертом, М. Дж. Хили и Дж. У. Тьюки . Он служит инструментом для исследования периодических структур в частотных спектрах. Такие эффекты связаны с заметными эхами или отражениями в сигнале, либо с появлением гармонических частот ( парциальных , обертонов ). Математически он решает проблему деконволюции сигналов в частотном пространстве.

Ссылки на статью Богерта в библиографии часто редактируются неправильно. Термины «кефренция», «аланисис», «кепстр» и «сафе» были изобретены авторами путем перестановки букв по частоте, анализу, спектру и фазе. Изобретенные термины определяются по аналогии со старыми терминами.

Общее определение

Кепстр является результатом следующей последовательности математических операций:

• преобразование сигнала из временной области в частотную область
• вычисление логарифма спектральной амплитуды
• преобразование в частотную область, где последняя независимая переменная, квенренция, имеет временную шкалу.

Типы

Кепстр используется во многих вариантах. Наиболее важными являются:

• кепстр мощности: логарифм берется из «спектра мощности».
• комплексный кепстр: логарифм берется из спектра, который рассчитывается с помощью анализа Фурье.

В формулах, объясняющих кепстр, используются следующие сокращения:

Аббревиатура	Объяснение
$f(t)$	Сигнал, который является функцией времени
$C$	Крест
${\mathcal {F}}$	Преобразование Фурье : Аббревиатура может означать непрерывное преобразование Фурье , дискретное преобразование Фурье (ДПФ) или даже z-преобразование , поскольку z-преобразование является обобщением ДПФ.
${\mathcal {F}}^{-1}$	Обратное преобразование Фурье
$\log(x)$	Логарифм х ​ . Выбор базы b зависит от пользователя. В некоторых статьях основание не указано, другие предпочитают основание 10 или e . Выбор базы не влияет на основные правила вычислений, но иногда база е приводит к упрощениям (см. «комплексный кепстр»).
$\left|x\right|$	Абсолютная величина , или величина комплексной величины , которая вычисляется из действительной и мнимой частей с помощью теоремы Пифагора .
$\left|x\right|^{2}$	Абсолютный квадрат
$\varphi$	Фазовый угол комплексного значения

Силовой кепстр

Первоначально «кепстр» определялся как кепстр власти по следующему соотношению:

$C_{p}=\left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log \left(\left|{\mathcal {F}}\{f(t)\}\right|^{2}\right)\right\}\right|^{2}$

Силовой кепстр имеет основные применения в анализе звуковых и вибрационных сигналов. Это дополнительный инструмент спектрального анализа.

Иногда его также определяют как:

$C_{p}=\left|{\mathcal {F}}\left\{\log \left(\left|{\mathcal {F}}\{f(t)\}\right|^{2}\right)\right\}\right|^{2}$

Благодаря этой формуле кепстр также иногда называют спектром спектра . Можно показать, что обе формулы согласуются друг с другом, поскольку частотное спектральное распределение остается прежним, единственная разница заключается в масштабном коэффициенте. который можно будет применить впоследствии. Некоторые статьи предпочитают вторую формулу.

Другие обозначения возможны в связи с тем, что лог спектра мощности равен логарифму спектра, если применяется масштабный коэффициент 2:

$\log |{\mathcal {F}}|^{2}=2\log |{\mathcal {F}}|$

и поэтому:

$C_{p}=\left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{2\log |{\mathcal {F}}|\right\}\right|^{2},{\text{ or}}$

$C_{p}=4\cdot \left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log |{\mathcal {F}}|\right\}\right|^{2},$

что обеспечивает связь с реальным кепстром (см. ниже).

Далее следует отметить, что последняя операция возведения в квадрат в формуле спектра мощности $C_{p}$ иногда называют ненужным и поэтому иногда опускается.

Реальный кепстр напрямую связан со степенным кепстром:

$C_{p}=4\cdot C_{r}^{2}$

Он получается из комплексного кепстра (определенного ниже) путем отбрасывания фазовой информации (содержащейся в мнимой части комплексного логарифма ). Основное внимание уделяется периодическим эффектам в амплитудах спектра:

$C_{r}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log({\mathcal {|{\mathcal {F}}\{f(t)\}|}})\right\}$

Комплексный кепстр

Комплексный кепстр был определен Оппенгеймом в его разработке теории гомоморфных систем. Формула представлена ​​и в другой литературе.

$C_{c}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log({\mathcal {F}}\{f(t)\})\right\}$

Как ${\mathcal {F}}$ является сложным, логтерм можно также записать с помощью ${\mathcal {F}}$ как произведение величины и фазы, а затем как сумму. Дальнейшее упрощение очевидно, если log — натуральный логарифм с основанием e :

$\log({\mathcal {F}})=\log({\mathcal {|F|\cdot e^{i\varphi }}})$

$\log _{e}({\mathcal {F}})=\log _{e}({\mathcal {|F|}})+\log _{e}(e^{i\varphi })=\log _{e}({\mathcal {|F|}})+i\varphi$

Следовательно: Комплексный кепстр можно также записать как:

$C_{c}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log _{e}({\mathcal {|F|}})+i\varphi \right\}$

Комплексный кепстр сохраняет информацию о фазе. Таким образом, всегда можно вернуться из области запросов во временную область с помощью обратной операции:

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{b^{\left({\mathcal {F}}\{C_{c}\}\right)}\right\},$

где b — основание используемого логарифма.

Основное применение — модификация сигнала в области частот (лифтинг) как аналог операции фильтрации в области спектральных частот. Примером является подавление эхо-эффектов путем подавления определенных частот.

Фазовый кепстр (после фазового спектра ) связан с комплексным кепстром как

фазовый спектр = (комплексный кепстр − обращение времени комплексного кепстра) ² .

Связанные понятия

кепстрального Независимая переменная графа называется квенренцией . Кефрентность — это мера времени, но не в смысле сигнала во временной области . Например, если частота дискретизации аудиосигнала составляет 44 100 Гц и в кепстре имеется большой пик, квенренность которого равна 100 выборкам, этот пик указывает на наличие основной частоты, равной 44 100/100 = 441 Гц. Этот пик возникает в кепстре, поскольку гармоники в спектре являются периодическими, а период соответствует основной частоте, поскольку гармоники представляют собой целые кратные основной частоте.

Кепстр . , который означает «временной отклик степенного ряда по уравнению Колмогорова», похож на кепстр и имеет к нему такое же отношение, как ожидаемое значение к статистическому среднему, т.е. кепстр — это эмпирически измеренная величина, а кепстр — это теоретическая величина количество. Он использовался до появления кепстра.

Автокепстр определяется как кепстр автокорреляции . Автокепстр более точен, чем кепстр, при анализе данных с эхо-сигналами.

Продолжая тему анаграмм, фильтр, работающий на кепстре, можно назвать лифтером . Подъемник нижних частот аналогичен фильтру нижних частот в частотной области . Его можно реализовать путем умножения на окно в частотной области и последующего преобразования обратно в частотную область, что приводит к модифицированному сигналу, т.е. с уменьшением эха сигнала.

Интерпретация

Кепстр можно рассматривать как информацию о скорости изменения в различных диапазонах спектра. Первоначально он был изобретен для характеристики сейсмического эха , возникающего в результате землетрясений и взрывов бомб . Его также использовали для определения основной частоты человеческой речи и для анализа отраженных радиолокационных сигналов. Определение высоты звука кепстра особенно эффективно, поскольку эффекты голосового возбуждения (высоты) и голосового тракта (форманты) складываются в логарифме спектра мощности и, таким образом, четко разделены.

Кепстр — это представление, используемое при обработке гомоморфных сигналов для преобразования сигналов, объединенных с помощью свертки (например, источника и фильтра), в суммы их кепстров для линейного разделения. В частности, степенной кепстр часто используется в качестве вектора признаков для представления человеческого голоса и музыкальных сигналов. Для этих приложений спектр обычно сначала преобразуется с использованием шкалы mel . Результат называется кепстром мел-частоты или MFC (его коэффициенты называются кепстральными коэффициентами мел-частоты или MFCC). Он используется для голосовой идентификации, определения высоты звука и многого другого. Кепстр полезен в этих приложениях, поскольку низкочастотное периодическое возбуждение голосовых связок и формантная фильтрация речевого тракта , которые свертываются во временной области и умножаются в частотной области , являются аддитивными и находятся в разных областях квенрентной области. .

Обратите внимание, что чистая синусоидальная волна не может использоваться для проверки кепстра на предмет определения его высоты тона по кечастотности, поскольку чистая синусоидальная волна не содержит никаких гармоник и не приводит к пикам кечастотности. Вместо этого следует использовать тестовый сигнал, содержащий гармоники (например, сумму как минимум двух синусов, где второй синус является некоторой гармоникой (кратной) первого синуса, или, лучше, сигнал с квадратной или треугольной формой волны, поскольку такие сигналы обеспечивают множество обертонов в спектре.).

Важным свойством кепстрального домена является то, что свертка двух сигналов может быть выражена как сложение их комплексных кепстров:

$x_{1}*x_{2}\mapsto x'_{1}+x'_{2}.$

Приложения

Концепция кепстра привела к многочисленным приложениям:

• работа с выводом отражения (радар, гидролокаторы, сейсмология Земли)
• оценка основной частоты динамика (высоты)
• анализ и распознавание речи
• медицинские приложения для анализа электроэнцефалограммы (ЭЭГ) и мозговых волн
• анализ вибрации машин на основе гармонических структур (неисправности коробки передач, поломки лопаток турбины и т. д.)

Недавно деконволюция на основе кепстра была использована для сигналов поверхностной электромиографии, чтобы удалить влияние стохастической последовательности импульсов, которая генерирует сигнал пЭМГ , из спектра мощности самого сигнала пЭМГ. Таким образом, сохранялась только информация о форме и амплитуде потенциала действия двигательной единицы (MUAP), которая затем использовалась для оценки параметров модели самой MUAP во временной области.

Кратковременный кепстральный анализ был предложен Шредером и Ноллом в 1960-х годах для применения при определении высоты звука человеческой речи.

Дальнейшее чтение

• Чайлдерс, Д.Г.; Скиннер, ДП; Кемерайт, Р.К. (1977). «Кепстр: Руководство по обработке». Труды IEEE . 65 (10). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 1428–1443. Бибкод : 1977IEEP..65.1428C . дои : 10.1109/proc.1977.10747 . ISSN   0018-9219 . S2CID   6108941 .
• Оппенгейм, А.В.; Шафер, Р.В. (2004). «История DSP - От частоты к квенренции: история кепстра». Журнал обработки сигналов IEEE . 21 (5). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 95–106. Бибкод : 2004ISPM...21...95O . дои : 10.1109/msp.2004.1328092 . ISSN   1053-5888 . S2CID   1162306 .
• « Анализ речевых сигналов ».
• « Анализ речи: кепстральный анализ против LPC », www.advsolned.com
• « Учебное пособие по Цепструму и LPCC »