Пространственная весовая матрица

Концепция пространственного веса используется в пространственном анализе для описания отношений соседства между регионами на карте. ^[1] Если местоположение $i$ является соседом места $j$ затем $w_{ij}\neq 0$ в противном случае $w_{ij}=0$ . Обычно (хотя и не всегда) мы не считаем сайт соседом самого себя. ^[2] так $w_{ii}=0$ . Эти коэффициенты кодируются в матрице пространственных весов.

W={\begin{pmatrix}w_{11}&w_{12}&\ldots &w_{1N}\\w_{21}&w_{22}&\ldots &w_{2N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\w_{N1}&w_{N2}&\ldots &w_{NN}\\\end{pmatrix}}

Где $N$ — количество рассматриваемых сайтов. Матрица пространственных весов является ключевой величиной при вычислении многих пространственных индексов, таких как I Морана , C Гири , статистика Getis-Ord и статистика подсчета соединений .

Веса на основе смежности

Этот подход рассматривает пространственные сайты как узлы графа со связями, определяемыми общей границей или вершиной. ^[3] Элементы матрицы пространственных весов определяются заданием $w_{ij}=1$ для всех связанных пар узлов $ij$ при этом все остальные элементы установлены в 0. Это делает матрицу пространственных весов эквивалентной матрице смежности соответствующей сети. Это обычное дело ^[2] нормализовать матрицу по строкам $W$ ,

w_{ij}\rightarrow w_{ij}/\sum _{j}w_{ij}

В этом случае сумма всех элементов $W$ равно $N$ количество сайтов.

Существует три распространенных метода связывания сайтов. ^[3] назван в честь шахматных фигур, которые делают похожие ходы:

Рук: сайты являются соседями, если у них общее преимущество
Бишоп: сайты являются соседями, если они имеют общую вершину
Королева: сайты являются соседями, если они имеют общее ребро или вершину.

В некоторых случаях статистика может сильно различаться в зависимости от используемого определения, особенно для дискретных данных в сетке. ^[3] Существуют и другие случаи, когда выбор соседей не очевиден и может повлиять на результат анализа. Биванд и Вонг ^[4] описывают ситуацию, когда значение пространственных индексов ассоциации (таких как I Морана ) зависит от включения или исключения паромной переправы между округами. Бывают также случаи, когда регионы встречаются в тройной или четырехточечной точке , где окрестности ладьи и ферзя могут различаться.

Веса на основе расстояния

Другой способ определения пространственных соседей основан на расстоянии между сайтами. Один простой выбор — установить $w_{ij}=1$ за каждую пару $(i,j)$ разделены расстоянием меньшим, чем некоторый порог $\delta$ . ^[5] Клифф и Орд ^[1] предложите общую форму

w_{ij}=g(d_{ij},\beta _{ij})

Где $g$ это некоторая функция $d_{ij}$ расстояние между $i$ и $j$ и $\beta _{ij}$ это пропорция периметра $i$ в контакте с $j$ . Функция

w_{ij}=d_{ij}^{-\alpha }\beta _{ij}^{b}

затем предлагается. Часто $\beta$ термин не включен, и наиболее распространенные значения для $\alpha$ это 1 и 2. ^[3] Другой распространенный выбор функции затухания расстояния: ^[6]

w_{ij}=\exp(-d_{ij})

ряд различных функций ядра хотя можно использовать . Экспоненциальная и другие функции ядра обычно устанавливаются $w_{ii}=1$ что необходимо учитывать в приложениях.

Можно сделать матрицу пространственных весов функцией «класса расстояния»: ^[7] $w_{ij}\rightarrow w_{ij}(d)$ где $d$ обозначает «класс расстояния», например $d=1,2,3,\ldots$ соответствующие первому, второму, третьему и т. д. соседям. В этом случае функции матрицы пространственных весов становятся зависимыми от класса расстояния. Например, I Морана — это

I(d)={\frac {N}{|W(d)|}}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(d)(x_{i}-{\bar {x}})(x_{j}-{\bar {x}})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}

Это определяет тип пространственной коррелограммы Морана , в данном случае, поскольку I измеряет пространственную автокорреляцию, $I(d)$ измеряет, как автокорреляция данных изменяется в зависимости от класса расстояния. Вспоминая первый закон географии Тоблера : «Все связано со всем остальным, но близкие вещи более связаны, чем отдаленные», он обычно уменьшается с расстоянием.

Общие функции расстояния включают в себя ^[5] Евклидово расстояние , Манхэттенское расстояние и расстояние Большого круга .

Пространственное отставание

Одним из применений матрицы пространственных весов является вычисление пространственного лага. ^[8]

[Wx]_{i}=\sum _{j}w_{ij}x_{j}

Для стандартизированных по строкам весов, изначально установленных на $w_{ij}=1$ и с $w_{ii}=0$ , $[Wx]_{i}$ это просто среднее значение, наблюдаемое у соседей $i$ . Эти лагированные переменные затем можно использовать в регрессионном анализе, чтобы учесть зависимость результирующей переменной от значений на соседних участках. ^[9]Стандартное уравнение регрессии:

y_{i}=\sum _{k}x_{ik}\beta _{k}+\epsilon _{i}

Модель пространственного лага добавляет к этому вектор пространственного лага.

y_{i}=\rho \sum _{j}w_{ij}y_{j}+\sum _{k}x_{ik}\beta _{k}+\epsilon _{i}

где $\rho$ параметр, который контролирует степень автокорреляции $y$ . ^[10] Это похоже на авторегрессионную модель при анализе временных рядов .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Клифф, А.Д. и Орд, Дж.К. (1981). Пространственные процессы: модели и приложения . Пион. ISBN 9780850860818 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б «Пространственные веса на основе смежности» .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дейл М.Р., Фортин М.Дж. Пространственный анализ: руководство для экологов. Издательство Кембриджского университета; 2014, 11 сентября.
^ Биванд Р.С., Вонг Д.В. Сравнение реализации глобальных и локальных индикаторов пространственной ассоциации. Тест. 2018 сентября;27(3):716-48.
^ Jump up to: ^а ^б «Пространственные веса дальнего диапазона» .
^ «Пространственные веса как функции расстояния» .
^ Лежандр П., Лежандр Л. Численная экология. Эльзевир; 2012, 21 июля.
^ «Применение пространственных весов» .
^ Анселин Л., Гриффит Д.А.. Действительно ли пространственные эффекты имеют значение в регрессионном анализе? Статьи по региональной науке. 1988 январь 1;65(1):11-34.
^ Сейя Х., Ёсида Т., Ямагата Ю. Пространственные эконометрические модели. InSpatial Analysis с использованием больших данных, 2020 г., 1 января (стр. 113–158). Академическая пресса.

[clifford-1] Jump up to: ^а ^б Клифф, А.Д. и Орд, Дж.К. (1981). Пространственные процессы: модели и приложения . Пион. ISBN 9780850860818 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[geoda1-2] Jump up to: ^а ^б «Пространственные веса на основе смежности» .

[fortindale-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дейл М.Р., Фортин М.Дж. Пространственный анализ: руководство для экологов. Издательство Кембриджского университета; 2014, 11 сентября.

[4] Биванд Р.С., Вонг Д.В. Сравнение реализации глобальных и локальных индикаторов пространственной ассоциации. Тест. 2018 сентября;27(3):716-48.

[geoda2-5] Jump up to: ^а ^б «Пространственные веса дальнего диапазона» .

[geoda3-6] «Пространственные веса как функции расстояния» .

[7] Лежандр П., Лежандр Л. Численная экология. Эльзевир; 2012, 21 июля.

[8] «Применение пространственных весов» .

[9] Анселин Л., Гриффит Д.А.. Действительно ли пространственные эффекты имеют значение в регрессионном анализе? Статьи по региональной науке. 1988 январь 1;65(1):11-34.

[10] Сейя Х., Ёсида Т., Ямагата Ю. Пространственные эконометрические модели. InSpatial Analysis с использованием больших данных, 2020 г., 1 января (стр. 113–158). Академическая пресса.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]