Морана Я

Белые и черные поля идеально разбросаны, поэтому I Морана будет равно -1, если использовать определение соседей ладьи . Если белые квадраты были сложены на одной половине доски, а черные — на другой, I Морана приближается к +1 по мере увеличения N. Случайное расположение квадратов цветов дало бы I Морана значение, близкое к 0.

В статистике Морана I является мерой пространственной автокорреляции, разработанной Патриком Альфредом Пирсом Мораном . Пространственная автокорреляция характеризуется корреляцией сигнала между близлежащими точками в пространстве. Пространственная автокорреляция более сложна, чем одномерная автокорреляция , поскольку пространственная корреляция является многомерной (т. е. 2 или 3 измерения пространства) и разнонаправленной.

Глобал Морана I

Глобальный показатель Морана I является мерой общей кластеризации пространственных данных. Он определяется как

$I={\frac {N}{W}}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(x_{i}-{\bar {x}})(x_{j}-{\bar {x}})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$

где

• $N$ количество пространственных единиц, индексированных $i$ и $j$;
• $x$ – интересующая переменная;
• ${\bar {x}}$ это среднее значение $x$;
• $w_{ij}$ – элементы матрицы пространственных весов с нулями на диагонали (т.е. $w_{ii}=0$);
• и $W$ это сумма всех $w_{ij}$ (т.е. $W=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{w_{ij}}$).

Статистика Морана I рассчитана для различных пространственных моделей. Используя соседей « ладьи » для каждой ячейки сетки, устанавливая $w_{ij}=1$ для соседей $j$ из $i$ а затем строку, нормализующую весовую матрицу. Вверху слева показана антикорреляция, дающая отрицательное I. значение дающий большое положительное значение I. Вверху справа показан пространственный градиент , Внизу слева показаны случайные данные, дающие значение I, близкое к 0 (или $-1/(N-1)\simeq -0.04$). Внизу справа показано «чернильное пятно» или рисунок распространения с положительной автокорреляцией.

Определение матрицы пространственных весов

Стоимость $I$ может во многом зависеть от допущений, заложенных в матрицу пространственных весов $w_{ij}$. Матрица необходима, потому что для решения проблемы пространственной автокорреляции, а также моделирования пространственного взаимодействия нам необходимо ввести структуру, ограничивающую количество рассматриваемых соседей. Это связано с первым законом географии Тоблера , который гласит: « Все зависит от всего остального, но более близкие вещи в большей степени » — другими словами, закон подразумевает функцию затухания пространственного расстояния , так что, хотя все наблюдения оказывают влияние на все остальные наблюдений, после некоторого порога расстояния этим влиянием можно пренебречь.

Идея состоит в том, чтобы построить матрицу, которая точно отражает ваши предположения о конкретном рассматриваемом пространственном явлении. Распространенный подход заключается в присвоении веса 1, если две зоны являются соседями, и 0 в противном случае, хотя определение «соседей» может различаться. Другим распространенным подходом может быть присвоение веса 1 $k$ ближайшие соседи, 0 в противном случае. Альтернативой является использование функции затухания расстояния для присвоения весов. Иногда длина общего ребра используется для присвоения соседям разных весов. Выбор матрицы пространственных весов должен основываться на теории рассматриваемого явления. Стоимость $I$ весьма чувствителен к весам и может повлиять на выводы, которые вы сделаете о явлении, особенно при использовании расстояний.

Ожидаемая стоимость

Морана Ожидаемое значение I при нулевой гипотезе отсутствия пространственной автокорреляции равно

$E(I)={\frac {-1}{N-1}}$

Нулевое распределение, используемое для этого ожидания, заключается в том, что $x$ ввод переставляется перестановкой $\pi$ выбираются равномерно случайным образом (и ожидание превышает выбор перестановки).

При больших размерах выборки (т. е. когда N стремится к бесконечности) ожидаемое значение приближается к нулю.

Его дисперсия равна

$\operatorname {Var} (I)={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)W^{2}}}-(E(I))^{2}$

где

$S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(w_{ij}+w_{ji})^{2}$

$S_{2}=\sum _{i}\left(\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji}\right)^{2}$

$S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}$

$S_{4}=(N^{2}-3N+3)S_{1}-NS_{2}+3W^{2}$

$S_{5}=(N^{2}-N)S_{1}-2NS_{2}+6W^{2}$

Значения значительно ниже -1/(N-1) указывают на отрицательную пространственную автокорреляцию, а значения значительно выше -1/(N-1) указывают на положительную пространственную автокорреляцию. Для проверки статистической гипотезы значения Морана I можно преобразовать в z-показатели .

Значения I варьируются между ${\frac {N}{W}}w_{min}$ и ${\frac {N}{W}}w_{max}$ где $w_{min}$ и $w_{max}$ — соответствующие минимальное и максимальное собственные значения весовой матрицы. Для строковой нормализованной матрицы ${\frac {N}{W}}=1$.

Морана I обратно пропорционален Гири C , но не идентичен. Морана I является мерой глобальной пространственной автокорреляции, тогда как C Гири более чувствителен к локальной пространственной автокорреляции.

Местный Моран I

Кластеры предполагаемого процента людей, живущих в бедности, по округам в сопредельных Соединенных Штатах в 2020 году, рассчитанные с использованием индекса I Анселина Местного Морана.

Глобальный пространственный автокорреляционный анализ дает только одну статистику, обобщающую всю исследуемую территорию. Другими словами, глобальный анализ предполагает однородность. Если это предположение не выполняется, то наличие только одной статистики не имеет смысла, поскольку статистика должна различаться в пространстве.

Более того, даже если нет глобальной автокорреляции или кластеризации, мы все равно можем найти кластеры на локальном уровне, используя локальный пространственный автокорреляционный анализ. Морана Тот факт, что I представляет собой сумму отдельных перекрестных произведений , используется «локальными индикаторами пространственной ассоциации» (LISA) для оценки кластеризации в этих отдельных единицах путем расчета локального I Морана для каждой пространственной единицы и оценки статистической значимости для каждой я _я . Из уравнения глобального Морана I мы можем получить:

$I_{i}={\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{m_{2}}}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(x_{j}-{\bar {x}})$

где:

$m_{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{N}}$

затем,

$I=\sum _{i=1}^{N}{\frac {I_{i}}{N}}$

I — это глобальный показатель Морана, измеряющий глобальную автокорреляцию, I _i — локальный, а N — количество единиц анализа на карте.

LISA можно рассчитать в GeoDa и ArcGIS Pro, которые используют локальный индекс Морана I , предложен Люком Анселином в 1995 году.

Использование

Морана I широко используется в области географии и географической информатики . Вот некоторые примеры:

• Анализ географических различий в переменных здоровья.
• Характеристика влияния концентрации лития в общественной воде на психическое здоровье.
• В диалектологии для измерения значимости региональных языковых вариаций.
• Определение целевой функции для значимой сегментации местности для геоморфологических исследований.

См. также

• Концепции и методы в современной географии
• Распад расстояния
• Гири C
• Индикаторы пространственной ассоциации
• Пространственная неоднородность
• Первый закон географии Тоблера
• коэффициент Вартенберга