Порядковый номер Бухгольца

В математике ψ ₀ (Ω _ω ) , широко известный как порядковый номер Бухгольца. , — это большой счетный ординал , который используется для измерения теоретико-доказательной силы некоторых математических систем. В частности, это теоретико-доказательный ординал подсистемы $\Pi _{1}^{1}$-CA ₀ арифметики второго порядка ; это одна из подсистем «большой пятерки», изучаемых в обратной математике (Симпсон, 1999). Это также теоретико-доказательный ординал ${\mathsf {ID_{<\omega }}}$, теория конечно итерированных индуктивных определений и $KP\ell _{0}$, фрагмент теории множеств Крипке-Платека, расширенный аксиомой, утверждающей, что каждое множество содержится в допустимом множестве . Порядковый номер Бухгольца также является типом порядка отрезка, ограниченного $D_{0}D_{\omega }0$ в порядковой системе обозначений Бухгольца ${\mathsf {(OT,<)}}$. Наконец, это можно выразить как предел последовательности: $\varepsilon _{0}=\psi _{0}(\Omega )$, ${\mathsf {BHO}}=\psi _{0}(\Omega _{2})$, $\psi _{0}(\Omega _{3})$, ...

Определение

Основная статья: пси-функции Бухгольца

• $\Omega _{0}=1$, и $\Omega _{n}=\aleph _{n}$ для n > 0.

• $C_{i}(\alpha )$ это закрытие $\Omega _{i}$ в дополнении и $\psi _{\eta }(\mu )$ сама функция (последняя из которых только для $\mu <\alpha$ и $\eta \leq \omega$).
• $\psi _{i}(\alpha )$ является наименьшим порядковым номером, не входящим в $C_{i}(\alpha )$.
• Таким образом, ψ ₀ (Ω _ω ) — наименьший ординал, не входящий в замыкание $1$ в дополнении и $\psi _{\eta }(\mu )$ сама функция (последняя из которых только для $\mu <\Omega _{\omega }$ и $\eta \leq \omega$).

Ссылки

• Г. Такеути, Теория доказательств , 2-е издание, 1987 г. ISBN   0-444-10492-5
• К. Шютте, Теория доказательств , Springer 1977. ISBN   0-387-07911-4