n -вектор

( Представление n -вектора также называемое геодезической нормалью или вектором нормали эллипсоида ) — это трехпараметрическое неособое представление, хорошо подходящее для замены геодезических координат ( широты и долготы ) для представления горизонтального положения в математических расчетах и компьютерных алгоритмах.

Геометрически n -вектор для данной позиции на эллипсоиде - это направленный наружу единичный вектор , который в этом положении нормален к эллипсоиду. Для представления горизонтальных положений на Земле эллипсоид является эталонным эллипсоидом , а вектор разлагается в геоцентрической фиксированной на Земле системе координат . Он ведет себя плавно во всех положениях Земли и сохраняет математическое свойство «один к одному» .

В более общем смысле, эта концепция может применяться для представления позиций на границе строго выпуклого ограниченного подмножества при k -мерного евклидова пространства условии, что эта граница является дифференцируемым многообразием . В этом общем случае n -вектор состоит из k параметров.

Общие свойства

Вектор нормали к строго выпуклой поверхности можно использовать для однозначного определения положения поверхности. n -вектор — это направленный наружу нормальный вектор с единичной длиной , используемый в качестве представления положения. ^[1]

Для большинства приложений поверхность является эталонным эллипсоидом Земли, и поэтому n -вектор используется для представления горизонтального положения. Следовательно, угол между n -вектором и плоскостью экватора соответствует геодезической широте , как показано на рисунке.

Положение поверхности имеет две степени свободы , поэтому двух параметров достаточно для представления любого положения на поверхности. На эталонном эллипсоиде широта и долгота общими параметрами для этой цели являются , но, как и все двухпараметрические представления , они имеют особенности . Это похоже на ориентацию , которая имеет три степени свободы, но все трехпараметрические представления имеют особенности. ^[2] В обоих случаях сингулярностей можно избежать, добавляя дополнительный параметр, т.е. используя n -вектор (три параметра) для представления горизонтального положения и единичный кватернион (четыре параметра) для представления ориентации .

n- вектор представляет собой представление «один к одному» , что означает, что любая позиция на поверхности соответствует одному уникальному n- вектору, а любой n -вектор соответствует одной уникальной позиции на поверхности.

В качестве евклидова 3D-вектора стандартную 3D- векторную алгебру для вычислений положения можно использовать , и это делает n -вектор хорошо подходящим для большинства вычислений горизонтального положения.

Преобразование широты/долготы в n -вектор

Основываясь на определении системы координат ECEF , называемой e , становится ясно, что переход от широты/долготы к n -вектору достигается путем:

\mathbf {n} ^{e}=\left[{\begin{matrix}\cos(\mathrm {latitude} )\cos(\mathrm {longitude} )\\\cos(\mathrm {latitude} )\sin(\mathrm {longitude} )\\\sin(\mathrm {latitude} )\\\end{matrix}}\right]

Верхний индекс e означает, что n -вектор разложен в системе координат e (т.е. первая компонента представляет собой скалярную проекцию вектора n- на x ось e , вторая на y ось e и т. д.). Обратите внимание, что уравнение является точным как для сферической, так и для эллипсоидной модели Земли.

Преобразование n -вектора в широту/долготу

Из трех компонентов n -вектора $n_{x}^{e}$ , $n_{y}^{e}$ , и $n_{z}^{e}$ , широту можно найти с помощью:

\mathrm {latitude} =\arcsin \left(n_{z}^{e}\right)=\arctan \left({\frac {n_{z}^{e}}{\sqrt {{n_{x}^{e}}^{2}+{n_{y}^{e}}^{2}}}}\right)

Крайнее правое выражение лучше всего подходит для реализации компьютерной программы. ^[1]

Долготу можно найти с помощью:

\mathrm {longitude} =\arctan \left({\frac {n_{y}^{e}}{n_{x}^{e}}}\right)

В этих выражениях $\arctan(y/x)$ должно быть реализовано с использованием вызова atan2 ( y , x ). Полюсная atan2 особенность долготы очевидна, поскольку ( 0,0) не определен. Отметим, что уравнения точны как для сферической, так и для эллипсоидной модели Земли.

Пример: расстояние по большому кругу.

Нахождение расстояния по большому кругу между двумя горизонтальными положениями (при условии, что Земля имеет сферическую форму) обычно выполняется с помощью широты и долготы. три разных выражения Распространены для этого расстояния; первый основан на arccos , второй — на arcsin , а последний — на arctan . Выражения, которые последовательно усложняются, чтобы избежать числовой нестабильности , найти нелегко, и, поскольку они основаны на широте и долготе, сингулярности полюсов могут стать проблемой. Они также содержат дельты широты и долготы, которые вообще следует использовать с осторожностью вблизи меридиана ± 180° и полюсов.

Решение той же задачи с помощью n -вектора проще благодаря возможности использования векторной алгебры . Выражение arccos получается из скалярного произведения , а величина векторного произведения дает выражение arcsin. Объединение этих двух дает выражение арктана: ^[1]

{\begin{aligned}&\Delta \sigma =\arccos \left(\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}\right)\\&\Delta \sigma =\arcsin \left(\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|\right)\\&\Delta \sigma =\arctan \left({\frac {\left|\mathbf {n} _{a}\times \mathbf {n} _{b}\right|}{\mathbf {n} _{a}\cdot \mathbf {n} _{b}}}\right)\\\end{aligned}}

где $\mathbf {n} _{a}$ и $\mathbf {n} _{b}$ являются n -векторами, представляющими две позиции a и b . $\Delta \sigma$ - это угловая разность, и, таким образом, расстояние по большому кругу достигается путем умножения на радиус Земли. Это выражение также работает на полюсах и на меридиане ±180°.

Есть еще несколько примеров, когда использование векторной алгебры упрощает стандартные задачи. ^[1] Для общего сравнения различных представлений см. страницу представлений горизонтального положения .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Гейд, Кеннет (2010). «Неособое представление горизонтального положения» (PDF) . Журнал навигации . 63 (3). Издательство Кембриджского университета: 395–417. Бибкод : 2010JNav...63..395G . дои : 10.1017/S0373463309990415 .
^ Стуэльпнагель, Джон (1964). «О параметризации группы трехмерного вращения». Обзор СИАМ . 6 (4). Общество промышленной и прикладной математики: 422–430. Бибкод : 1964SIAMR...6..422S . дои : 10.1137/1006093 . JSTOR 2027966 .

Внешние ссылки

Решение 10 задач с помощью n -вектора

[Gade-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Гейд, Кеннет (2010). «Неособое представление горизонтального положения» (PDF) . Журнал навигации . 63 (3). Издательство Кембриджского университета: 395–417. Бибкод : 2010JNav...63..395G . дои : 10.1017/S0373463309990415 .

[2] Стуэльпнагель, Джон (1964). «О параметризации группы трехмерного вращения». Обзор СИАМ . 6 (4). Общество промышленной и прикладной математики: 422–430. Бибкод : 1964SIAMR...6..422S . дои : 10.1137/1006093 . JSTOR 2027966 .

[1]

[2]