Опцион на реализованную волатильность

В финансах опцион на реализованную волатильность (или опцион на волатильность ) представляет собой подкласс производных ценных бумаг, в функцию выигрыша которых встроено понятие реализованной волатильности в годовом исчислении определенного базового актива, которым может быть фондовый индекс, облигация, валютный курс и т. д. Другой продукт дериватива на волатильность, который широко торгуется, относится к свопу на волатильность , который, другими словами, представляет собой форвардный контракт на будущую реализованную волатильность.

Длинная позиция опциона на волатильность, как и ванильный опцион, имеет право, но не обязанность торговать реализованной в годовом исчислении волатильностью с короткой позицией по некоторой согласованной цене (страйк волатильности) в какой-то заранее определенный момент в будущем (дата истечения срока действия). . Выплата обычно выплачивается наличными в некоторой условной сумме. Что отличает этот финансовый контракт от обычных опционов, так это то, что мера риска не зависит от доходности актива, а связана исключительно с волатильностью цен. В результате трейдеры могут использовать его как инструмент для спекуляций на волатильности цен, чтобы хеджировать позиции своего портфеля, не принимая на себя направленный риск, удерживая базовый актив.

Определения

Реализованная волатильность

На практике реализованная волатильность в годовом исчислении интерпретируется при дискретной выборке как квадратный корень из реализованной годовой дисперсии. А именно, если существуют $n+1$ точки выборки базовых цен, говорит $S_{t_{0}},S_{t_{2}},\dots ,S_{t_{n}}$ наблюдалось во время $t_{i}$ где $0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T$ для всех $i=1,2,\ldots ,n$ , то годовая реализованная дисперсия оценивается как

RV_{d}:={\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}

где

$A$ – это годовой коэффициент, обычно выбираемый в качестве $A=252$ если цена отслеживается ежедневно, или $A=52$ или $A=12$ в случае еженедельного или ежемесячного наблюдения соответственно и
$T$ — дата истечения опциона, равная числу $n/{A}.$

Благодаря этой настройке мы имеем ${\sqrt {RV_{d}}}$ определяется как реализованная волатильность в годовом исчислении.

Кроме того, как только число наблюдений $n$ увеличивается до бесконечности, дискретно определенная реализованная волатильность сходится по вероятности к квадратному корню квадратичного изменения базового актива, т.е.

\lim _{n\to \infty }{\sqrt {RV_{d}}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma (s)\,ds}}=:{\sqrt {RV_{c}}}

что в конечном итоге определяет версию реализованной волатильности с непрерывной выборкой. ^[1] Может оказаться, что в некоторой степени удобнее использовать это обозначение для оценки волатильных деривативов. Однако решение представляет собой лишь приближенную форму дискретного решения, поскольку контракт обычно котируется с использованием дискретной выборки.

Выплаты по опциону на волатильность

Если мы установим

$K_{\text{vol}}^{C}$ быть страйком волатильности и

$L$ быть условной суммой опциона в денежной единице, скажем, в долларах США или фунтах стерлингов на единицу годовой волатильности,

затем выплаты по истечении срока опционов колл и пут, записанные на ${\sqrt {RV_{(\cdot )}}}$ (или просто колл и пут волатильности)

\left({\sqrt {RV_{(\cdot )}}}-K_{\text{vol}}^{C}\right)^{+}\times L

и

\left(K_{\text{vol}}^{C}-{\sqrt {RV_{(\cdot )}}}\right)^{+}\times L

соответственно, где ${\sqrt {RV_{(\cdot )}}}={\sqrt {RV_{d}}}$ если реализованная волатильность дискретно отбирается и ${\sqrt {RV_{(\cdot )}}}={\sqrt {RV_{c}}}$ если речь идет о непрерывной выборке. И чтобы воспринять их текущую стоимость, достаточно только вычислить одну из них, поскольку другая одновременно получается с помощью вспомогательной функции паритета пут-колл .

Ценообразование и оценка

Что касается аргумента об отсутствии арбитража, предположим, что цена базового актива $S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}$ моделируется с нейтральной к риску вероятностью $\mathbb {Q}$ и решает следующее изменяющееся во времени уравнение Блэка-Шлоза:

{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)\,dt+\sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0

где:

$r(t)\in \mathbb {R}$ (изменяющаяся во времени) безрисковая процентная ставка,
$\sigma (t)>0$ (изменяющаяся во времени) волатильность цен, и
$W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}$ является броуновским движением в фильтрованном вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )$ где $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}$ это естественная фильтрация $W$ .

Тогда справедливая цена отклонения в определенный момент времени $t_{0}$ обозначается $C_{t_{0}}^{\text{vol}}$ можно получить с помощью

C_{t_{0}}^{\operatorname {vol} }:=e^{-\int _{t_{0}}^{T}r(s)\,ds}\operatorname {E} ^{\mathbb {Q} }\left[\left({\sqrt {RV_{(\cdot )}}}-K_{\operatorname {vol} }^{C}\right)^{+}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}\right],

где $\operatorname {E} ^{\mathbb {Q} }[X\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}]$ представляет собой условное ожидание случайной величины $X$ относительно ${\mathcal {F}}_{t_{0}}$ при риск-нейтральной вероятности $\mathbb {Q}$ . Решение для $C_{t_{0}}^{\operatorname {vol} }$ можно каким-то образом получить аналитически, если воспринимать плотности вероятности функцию ${\sqrt {RV_{(\cdot )}}}$ или с помощью некоторых приближенных подходов, таких как методы Монте-Карло .

См. также

Ссылки

^ Барндорф-Нильсен, Оле Э .; Шепард, Нил (май 2002 г.). «Эконометрический анализ реализованной волатильности и его использование при оценке моделей стохастической волатильности» . Журнал Королевского статистического общества, серия B. 64 (2): 253–280. дои : 10.1111/1467-9868.00336 . S2CID 122716443 .

[1] Барндорф-Нильсен, Оле Э .; Шепард, Нил (май 2002 г.). «Эконометрический анализ реализованной волатильности и его использование при оценке моделей стохастической волатильности» . Журнал Королевского статистического общества, серия B. 64 (2): 253–280. дои : 10.1111/1467-9868.00336 . S2CID 122716443 .

[1]