Jump to content

Моноидное кольцо

(Перенаправлено с кольца полугруппы )

В абстрактной алгебре моноидное кольцо — это кольцо, построенное из кольца и моноида , точно так же, как групповое кольцо состоит из кольца и группы .

Определение [ править ]

Пусть R — кольцо и G — моноид. Кольцо моноида или алгебра моноидов группы G над R , обозначаемая R [ G ] или RG , представляет собой набор формальных сумм. ,где для каждого и r g = 0 для всех, кроме конечного числа g , снабженных сложением по коэффициентам и умножением, при котором элементы R коммутируют с элементами G . Более формально, R [ G ] — это свободный R -модуль на множестве G , наделенный R -линейным умножением, определенным на базовых элементах на g · h := gh , где левая часть понимается как умножение в R [ G ] и правая часть понимается в G .

Альтернативно можно идентифицировать элемент с функцией e g , которая отображает g в 1 и любой другой элемент G в 0. Таким образом, R [ G ] отождествляется с набором функций φ: G R таких, что { g : φ( g ) ≠ 0 } конечно. оснащен сложением функций и умножением, определяемым

.

Если G группа , то R [ G называется групповым кольцом группы G над R. ] также

Универсальная собственность [ править ]

Учитывая R и G , существует кольцевой гомоморфизм α: R R [ G ], переводящий каждый r в r 1 (где 1 — единичный элемент G ),и гомоморфизм моноида β: G R [ G ] (где последний рассматривается как моноид при умножении), переводящий каждый g в 1 g (где 1 — мультипликативное тождество R ). что α( r ) коммутирует с β( g ) для всех r в R и g в G. Мы имеем ,

Универсальное свойство кольца моноида гласит, что для кольца S , гомоморфизма колец α': R S и гомоморфизма моноида β': G S в мультипликативный моноид кольца S ,такой, что α'( r ) коммутирует с β'( g ) для всех r в R и g в G , существует единственный кольцевой гомоморфизм γ: R [ G ] → S такой, что составление α и β с γ дает α' и β'.

Аугментация [ править ]

Пополнение , — это кольцевой гомоморфизм η : R [ G ] → R определенный формулой

Ядро η . называется приращения идеалом Это свободный R - модуль с базисом, состоящим из 1 – g для всех g в G, не равных 1.

Примеры [ править ]

Даны кольцо R и (аддитивный) моноид натуральных чисел N (или { x н }, если смотреть мультипликативно), получим кольцо R [{ x н }] =: R [ x ] многочленов над R .Моноид N н (с добавлением) дает кольцо многочленов с n переменными: R [ N н ] =: R [ Икс 1 , ..., Икс п ].

Обобщение [ править ]

Если G полугруппа , та же конструкция дает полугрупповое кольцо R [ G ].

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Том. 211 (Ред. 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-95385-Х .

Дальнейшее чтение [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7a077b9d717cd73d1271e078a0803387__1718097180
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/7a/87/7a077b9d717cd73d1271e078a0803387.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Monoid ring - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)