Капиллярная волна

Капиллярная волна — это волна, движущаяся вдоль фазовой границы жидкости, в динамике и фазовой скорости которой преобладают эффекты поверхностного натяжения .

Капиллярные волны широко распространены в природе , и их часто называют рябью . Длина капиллярных волн на воде обычно составляет менее нескольких сантиметров, а фазовая скорость превышает 0,2–0,3 метра в секунду.

Более длинная длина волны на границе раздела жидкости приведет к возникновению гравитационно-капиллярных волн , на которые влияют как эффекты поверхностного натяжения и гравитации , так и инерция жидкости . Обычные гравитационные волны имеют еще большую длину волны.

Когда они возникают под действием легкого ветра на открытой воде, их морское название — кошачьей лапы волны . Легкий ветерок, вызывающий такую мелкую рябь, также иногда называют кошачьими лапками. В открытом океане гораздо более крупные поверхностные волны океана ( моря и зыби ) могут возникнуть в результате слияния более мелких волн, вызванных ветром.

Дисперсионное соотношение

Дисперсионное соотношение описывает взаимосвязь между длиной волны и частотой в волнах. Можно провести различие между чистыми капиллярными волнами, в которых полностью преобладают эффекты поверхностного натяжения, и гравитационно-капиллярными волнами, на которые также влияет сила тяжести.

Капиллярные волны, собственно

Дисперсионное уравнение для капиллярных волн имеет вид

\omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},

где $\omega$ угловая частота , $\sigma$ поверхностное натяжение , $\rho$ плотность более тяжелая жидкость, $\rho '$ плотность жидкости для зажигалок и $k$ волновое число . волны Длина $\lambda ={\frac {2\pi }{k}}.$ Для границы между жидкостью и вакуумом (свободной поверхностью) дисперсионное уравнение сводится к

\omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.

Гравитационно-капиллярные волны

Когда на капиллярные волны также существенно влияет сила тяжести, их называют гравитационно-капиллярными волнами. Их дисперсионное соотношение для волн на границе раздела двух жидкостей бесконечной глубины выглядит следующим образом: ^[1]^[2]

\omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),

где $g$ - ускорение свободного падения , $\rho$ и $\rho '$ - массовая плотность двух жидкостей $(\rho >\rho ')$ . Фактор $(\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')$ в первом члене – число Этвуда .

Гравитационно-волновой режим

Для больших длин волн (малых $k=2\pi /\lambda$ ), только первый член имеет значение, и есть гравитационные волны . В этом пределе волны имеют групповую скорость, составляющую половину фазовой скорости : следуя за гребнем отдельной волны в группе, можно увидеть, как волна появляется в задней части группы, растет и, наконец, исчезает в передней части группы.

Капиллярный волновой режим

Короткий (большой $k$ ) волны (например, 2 мм для границы раздела вода–воздух), являющиеся собственными капиллярными волнами, действуют наоборот: отдельная волна возникает в передней части группы, растет при движении к центру группы и, наконец, исчезает в задней части группы. группа. В этом пределе фазовая скорость составляет две трети групповой скорости.

Минимальная фазовая скорость

Между этими двумя пределами находится точка, в которой дисперсия, вызванная силой тяжести, компенсирует дисперсию, обусловленную капиллярным эффектом. На определенной длине волны групповая скорость равна фазовой скорости и дисперсия отсутствует. Именно на этой же длине волны фазовая скорость гравитационно-капиллярных волн как функция длины волны (или волнового числа) имеет минимум. Волны с длиной волны, намного меньшей этой критической длины волны. $\lambda _{m}$ преобладает поверхностное натяжение и значительно превосходит гравитационное. Значение этой длины волны и связанная с ней минимальная фазовая скорость $c_{m}$ являются: ^[1]

\lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.

Для воздух - вода границы раздела $\lambda _{m}$ оказывается равным 1,7 см (0,67 дюйма), а $c_{m}$ составляет 0,23 м/с (0,75 фута/с). ^[1]

Если уронить небольшой камень или каплю в жидкость, волны распространяются за пределы расширяющегося круга покоящейся жидкости; этот круг представляет собой каустику , соответствующую минимальной групповой скорости. ^[3]

Вывод

Как Ричард Фейнман выразился , « [волны на воде], которые легко увидеть каждому и которые обычно используются в качестве примера волн в начальных курсах [...], являются наихудшим примером [...]; у них есть все осложнения, которые могут иметь волны » . ^[4] Поэтому вывод общего дисперсионного уравнения весьма сложен. ^[5]

Есть три вклада в энергию: гравитация, поверхностное натяжение и гидродинамика . Первые две представляют собой потенциальные энергии и отвечают за два члена в скобках, как ясно из вида $g$ и $\sigma$ . Для гравитации предполагается, что плотность жидкостей постоянна (т. е. несжимаема), а также $g$ (волны недостаточно высоки, чтобы гравитация могла существенно измениться). Для поверхностного натяжения отклонения от плоскостности (измеряемые по производным поверхности) должны быть небольшими. Для обычных волн оба приближения достаточно хороши.

Третий вклад связан с кинетическими энергиями жидкостей. Он наиболее сложен и требует гидродинамической основы. Снова задействована несжимаемость (которая выполняется, если скорость волн намного меньше скорости звука в среде), а также безвихревость потока - тогда поток является потенциальным . Обычно это также хорошие приближения для обычных ситуаций.

Полученное уравнение для потенциала (которое представляет собой уравнение Лапласа ) может быть решено с использованием соответствующих граничных условий. С одной стороны, скорость должна исчезать значительно ниже поверхности (в случае «глубокой воды», который мы рассматриваем, в противном случае получается более сложный результат, см. Поверхностные волны океана ). С другой стороны, ее вертикальная составляющая должна соответствовать движению поверхности. Этот вклад в конечном итоге несет ответственность за дополнительные $k$ за скобками, что приводит к тому, что все режимы являются дисперсионными, как при низких значениях $k$ и высокие (за исключением одного значения, при котором две дисперсии компенсируются.)

Дисперсионное уравнение для гравитационно-капиллярных волн на границе двух полубесконечных областей жидкости

Consider two fluid domains, separated by an interface with surface tension. The mean interface position is horizontal. It separates the upper from the lower fluid, both having a different constant mass density,

\rho

and

\rho '

for the lower and upper domain respectively. The fluid is assumed to be inviscid and incompressible, and the flow is assumed to be irrotational. Then the flows are potential, and the velocity in the lower and upper layer can be obtained from

\nabla \phi

and

\nabla \phi '

, respectively. Here

\phi (x,y,z,t)

and

\phi '(x,y,z,t)

are velocity potentials.

Three contributions to the energy are involved: the potential energy $V_{g}$ due to gravity, the potential energy $V_{st}$ due to the surface tension and the kinetic energy $T$ of the flow. The part $V_{g}$ due to gravity is the simplest: integrating the potential energy density due to gravity, $\rho gz$ (or $\rho 'gz$ ) from a reference height to the position of the surface, $z=\eta (x,y,t)$ :^[6]

V_{\mathrm {g} }=\iint dx\,dy\;\int _{0}^{\eta }dz\;(\rho -\rho ')gz={\frac {1}{2}}(\rho -\rho ')g\iint dx\,dy\;\eta ^{2},

assuming the mean interface position is at $z=0$ .

An increase in area of the surface causes a proportional increase of energy due to surface tension:^[7]

V_{\mathrm {st} }=\sigma \iint dx\,dy\;\left[{\sqrt {1+\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}}}-1\right]\approx {\frac {1}{2}}\sigma \iint dx\,dy\;\left[\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right)^{2}\right],

where the first equality is the area in this (Monge's) representation, and the second applies for small values of the derivatives (surfaces not too rough).

The last contribution involves the kinetic energy of the fluid:^[8]

T={\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\int _{-\infty }^{\eta }dz\;\rho \,\left|\mathbf {\nabla } \Phi \right|^{2}+\int _{\eta }^{+\infty }dz\;\rho '\,\left|\mathbf {\nabla } \Phi '\right|^{2}\right].

Use is made of the fluid being incompressible and its flow is irrotational (often, sensible approximations). As a result, both $\phi (x,y,z,t)$ and $\phi '(x,y,z,t)$ must satisfy the Laplace equation:^[9]

\nabla ^{2}\Phi =0

and

\nabla ^{2}\Phi '=0.

These equations can be solved with the proper boundary conditions: $\phi$ and $\phi '$ must vanish well away from the surface (in the "deep water" case, which is the one we consider).

Using Green's identity, and assuming the deviations of the surface elevation to be small (so the z–integrations may be approximated by integrating up to $z=0$ instead of $z=\eta$ ), the kinetic energy can be written as:^[8]

T\approx {\frac {1}{2}}\iint dx\,dy\;\left[\rho \,\Phi \,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\;-\;\rho '\,\Phi '\,{\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}\right]_{{\text{at }}z=0}.

To find the dispersion relation, it is sufficient to consider a sinusoidal wave on the interface, propagating in the x–direction:^[7]

\eta =a\,\cos \,(kx-\omega t)=a\,\cos \,\theta ,

with amplitude $a$ and wave phase $\theta =kx-\omega t$ . The kinematic boundary condition at the interface, relating the potentials to the interface motion, is that the vertical velocity components must match the motion of the surface:^[7]

{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}

and

{\frac {\partial \Phi '}{\partial z}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}

at

z=0

.

To tackle the problem of finding the potentials, one may try separation of variables, when both fields can be expressed as:^[7]

{\begin{aligned}\Phi (x,y,z,t)&=+{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{+|k|z}\,\omega a\,\sin \,\theta ,\\\Phi '(x,y,z,t)&=-{\frac {1}{|k|}}{\text{e}}^{-|k|z}\,\omega a\,\sin \,\theta .\end{aligned}}

Then the contributions to the wave energy, horizontally integrated over one wavelength $\lambda =2\pi /k$ in the x–direction, and over a unit width in the y–direction, become:^[7]^[10]

{\begin{aligned}V_{\text{g}}&={\frac {1}{4}}(\rho -\rho ')ga^{2}\lambda ,\\V_{\text{st}}&={\frac {1}{4}}\sigma k^{2}a^{2}\lambda ,\\T&={\frac {1}{4}}(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}a^{2}\lambda .\end{aligned}}

The dispersion relation can now be obtained from the Lagrangian $L=T-V$ , with $V$ the sum of the potential energies by gravity $V_{g}$ and surface tension $V_{st}$ :^[11]

L={\frac {1}{4}}\left[(\rho +\rho '){\frac {\omega ^{2}}{|k|}}-(\rho -\rho ')g-\sigma k^{2}\right]a^{2}\lambda .

For sinusoidal waves and linear wave theory, the phase–averaged Lagrangian is always of the form $L=D(\omega ,k)a^{2}$ , so that variation with respect to the only free parameter, $a$ , gives the dispersion relation $D(\omega ,k)=0$ .^[11] In our case $D(\omega ,k)$ is just the expression in the square brackets, so that the dispersion relation is:

\omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,k^{2}\right),

the same as above.

As a result, the average wave energy per unit horizontal area, $(T+V)/\lambda$ , is:

{\bar {E}}={\frac {1}{2}}\,\left[(\rho -\rho ')\,g+\sigma k^{2}\right]\,a^{2}.

As usual for linear wave motions, the potential and kinetic energy are equal (equipartition holds): $T=V$ .^[12]

См. также

Галерея

Рябь на воде, создаваемая водомерками
Легкий бриз колеблется по поверхности воды озера

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с Лэмб (1994), §267, стр. 458–460.
^ Дингеманс (1997), раздел 2.1.1, с. 45.
Филлипс (1977), раздел 3.2, с. 37.
^ Фалькович, Г. (2011). Механика жидкости, краткий курс для физиков . Издательство Кембриджского университета. Раздел 3.1 и Упражнение 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4 .
^ Р.П. Фейнман , Р.Б. Лейтон и М. Сэндс (1963). Фейнмановские лекции по физике . Аддисон-Уэсли. Том I, главы 51-4.
^ Более подробное описание см., например, в Safran (1994).
^ Лэмб (1994), §174 и §230.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Лэмб (1994), §266.
^ Jump up to: ^а ^б Лэмб (1994), §61.
^ Лэмб (1994), §20
^ Лэмб (1994), §230.
^ Jump up to: ^а ^б Уизем, Великобритания (1974). Линейные и нелинейные волны . Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-94090-9 . См. раздел 11.7.
^ Лорд Рэлей (Дж. В. Стратт) (1877). «На прогрессивных волнах» . Труды Лондонского математического общества . 9 : 21–26. дои : 10.1112/plms/s1-9.1.21 . Перепечатано в качестве приложения в: Theory of Sound 1 , MacMillan, 2-е исправленное издание, 1894 г.

Ссылки

Лонге-Хиггинс, MS (1963). «Генерация капиллярных волн крутыми гравитационными волнами». Журнал механики жидкости . 16 (1): 138–159. Бибкод : 1963JFM....16..138L . дои : 10.1017/S0022112063000641 . ISSN 1469-7645 . S2CID 119740891 .
Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45868-9 .
Филлипс, О.М. (1977). Динамика верхних слоев океана (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29801-6 .
Дингеманс, М.В. (1997). Распространение волн воды по неровному дну . Расширенная серия по океанской инженерии. Том. 13. World Scientific, Сингапур. стр. 2 части, 967 страниц. ISBN 981-02-0427-2 .
Сафран, Сэмюэл (1994). Статистическая термодинамика поверхностей, границ раздела и мембран . Аддисон-Уэсли.
Туфилларо, Северная Каролина; Рамшанкар, Р.; Голлуб, JP (1989). «Переход порядок-беспорядок в капиллярной ряби» . Письма о физических отзывах . 62 (4): 422–425. Бибкод : 1989PhRvL..62..422T . дои : 10.1103/PhysRevLett.62.422 . ПМИД 10040229 .

Внешние ссылки

Запись о капиллярных волнах на sklogwiki

[Lamb-1] Jump up to: ^а ^б ^с Лэмб (1994), §267, стр. 458–460.

[2] Дингеманс (1997), раздел 2.1.1, с. 45.
Филлипс (1977), раздел 3.2, с. 37.

[3] Фалькович, Г. (2011). Механика жидкости, краткий курс для физиков . Издательство Кембриджского университета. Раздел 3.1 и Упражнение 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4 .

[4] Р.П. Фейнман , Р.Б. Лейтон и М. Сэндс (1963). Фейнмановские лекции по физике . Аддисон-Уэсли. Том I, главы 51-4.

[5] Более подробное описание см., например, в Safran (1994).

[6] Лэмб (1994), §174 и §230.

[LambCap-7] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Лэмб (1994), §266.

[LambKin-8] Jump up to: ^а ^б Лэмб (1994), §61.

[9] Лэмб (1994), §20

[10] Лэмб (1994), §230.

[Whitham-11] Jump up to: ^а ^б Уизем, Великобритания (1974). Линейные и нелинейные волны . Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-94090-9 . См. раздел 11.7.

[12] Лорд Рэлей (Дж. В. Стратт) (1877). «На прогрессивных волнах» . Труды Лондонского математического общества . 9 : 21–26. дои : 10.1112/plms/s1-9.1.21 . Перепечатано в качестве приложения в: Theory of Sound 1 , MacMillan, 2-е исправленное издание, 1894 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]