Норма Терстона

В математике норма Терстона — это функция второй группы гомологии ориентированного 3-многообразия, введенная Уильямом Терстоном , которая естественным образом измеряет топологическую сложность классов гомологии, представленных поверхностями.

Определение

Позволять $M$ быть дифференцируемым многообразием и $c\in H_{2}(M)$. Затем $c$ может быть представлено гладким вложением $S\to M$, где $S$ — это (не обязательно связная) поверхность , компактная и не имеющая края. Норма Терстона $c$ тогда определяется как

$\|c\|_{T}=\min _{S}\sum _{i=1}^{n}\chi _{-}(S_{i})$,

где минимум берется по всем закладным поверхностям $S=\bigcup _{i}S_{i}$ ( $S_{i}$ являющиеся связными компонентами), представляющими $c$ как указано выше, и $\chi _{-}(F)=\max(0,-\chi (F))$ — абсолютное значение эйлеровой характеристики для поверхностей, не являющихся сферами (и 0 для сфер).

Эта функция удовлетворяет следующим свойствам:

• $\|kc\|_{T}=|k|\cdot \|c\|_{T}$ для $c\in H_{2}(M),k\in \mathbb {Z}$;
• $\|c_{1}+c_{2}\|_{T}\leq \|c_{1}\|_{T}+\|c_{2}\|_{T}$ для $c_{1},c_{2}\in H_{2}(M)$.

Эти свойства подразумевают, что $\|\cdot \|$ расширяется до функции на $H_{2}(M,\mathbb {Q} )$ которое затем может быть продолжено по непрерывности до полунормы $\|\cdot \|_{T}$ на $H_{2}(M,\mathbb {R} )$. С помощью двойственности Пуанкаре можно определить норму Терстона на $H^{1}(M,\mathbb {R} )$.

Когда $M$ компактен с краем, норма Терстона определяется аналогичным образом на гомологий относительной группе $H_{2}(M,\partial M,\mathbb {R} )$ и его двойник Пуанкаре $H^{1}(M,\mathbb {R} )$.

Это следует из дальнейшей работы Давида Габая. что можно также определить норму Терстона, используя только погруженные поверхности. Отсюда следует, что норма Тёрстона также равна половине нормы Громова гомологии.

Топологические приложения

Норма Терстона была введена ввиду ее применения к расслоениям и слоениям трехмерных многообразий.

Единичный шар $B$ нормы Тёрстона 3-многообразия $M$ — многогранник с целыми вершинами. Его можно использовать для описания структуры множества расслоений $M$ по кругу: если $M$ можно записать как тор отображения диффеоморфизма $f$ поверхности $S$ тогда вложение $S\hookrightarrow M$ представляет класс в многомерной (или открытой) грани $B$: более того, все остальные целые точки на той же грани также являются слоями такого расслоения.

Вложенные поверхности, минимизирующие норму Тёрстона в своем классе гомологий, представляют собой в точности замкнутые слои слоений $M$.

Ссылки

• Габай, Дэвид (1983). «Слоения и топология 3-многообразий» . Журнал дифференциальной геометрии . 18 (3): 445–503. дои : 10.4310/jdg/1214437784 . МР   0723813 .
• Терстон, Уильям (1986). «Норма гомологии 3-многообразий». Мемуары Американского математического общества . 59 (33): i – vi и 99–130. МР   0823443 .