Индекс Торнквиста

В экономике индекс Торнквиста представляет собой индекс цен или количества . На практике значения индекса Торнквиста рассчитываются для последовательных периодов, затем они объединяются или « связываются в цепочку ». Таким образом, базовый расчет не относится к одному базовому году.

Вычисление

Индекс цен за некоторый период обычно нормируется как 1 или 100, и этот период называется «базисным периодом».

Индекс цен Торнквиста или Торнквиста-Тейла представляет собой средневзвешенное геометрическое соотношений цен, в котором в качестве весов используются средние арифметические доли стоимости за два периода. ^[1]

Используемые данные представляют собой цены и количества за два периода времени (t-1) и (t) для каждого из n товаров, индексированных i .

Если мы обозначим цену товара i в момент времени t-1 через $p_{i,t-1}$ , и аналогично определяем $q_{i,t}$ быть количеством приобретенного товара i в момент времени t, тогда индекс цен Торнквиста $P_{t}$ в момент времени t можно рассчитать следующим образом: ^[2]

{\frac {P_{t}}{P_{t-1}}}=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {p_{i,t}}{p_{i,t-1}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\left[{\frac {p_{i,t-1}q_{i,t-1}}{\sum _{j=1}^{n}\left(p_{j,t-1}q_{j,t-1}\right)}}+{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{j=1}^{n}\left(p_{j,t}q_{j,t}\right)}}\right]}

Знаменатели показателя степени представляют собой суммы общих расходов в каждом из двух периодов.Более компактно это можно выразить в векторной записи . Позволять $p_{t-1}$ обозначим вектор всех цен в момент времени t-1 и аналогично определим векторы $q_{t-1}$ , $p_{t}$ , и $q_{t}$ . Тогда приведенное выше выражение можно переписать:

{\frac {P_{t}}{P_{t-1}}}=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {p_{it}}{p_{i,t-1}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\left[{\frac {p_{i,t-1}q_{i,t-1}}{p_{t-1}\cdot q_{t-1}}}+{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{p_{t}\cdot q_{t}}}\right]}

Обратите внимание, что во втором выражении общий показатель степени представляет собой среднюю долю расходов на товар i за два периода . Индекс Торнквиста одинаково взвешивает опыт двух периодов, поэтому его называют симметричным индексом. Обычно эта доля особо не меняется; например, расходы на питание в миллионе домохозяйств могут составлять 20% дохода в один период и 20,1% в следующий период.

На практике индексы Торнквиста часто рассчитываются с использованием уравнения, которое получается в результате учета журналов обеих сторон, как в выражении ниже, которое вычисляет одно и то же. $P_{t}$ как те, что выше. ^[3]

ln{\frac {P_{t}}{P_{t-1}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {p_{i,t-1}q_{i,t-1}}{p_{t-1}q_{t-1}}}+{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{p_{t}q_{t}}}\right)ln\left({\frac {p_{i,t}}{p_{i,t-1}}}\right)

Количественный индекс Торнквиста можно рассчитать аналогичным образом, используя цены на вес. Количественные индексы используются при расчете совокупных показателей физического «капитала», суммирующих оборудование и конструкции разных типов в один временной ряд. Замена p на q и q на p дает уравнение для количественного индекса:

{\frac {Q_{t}}{Q_{t-1}}}=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {q_{i,t}}{q_{i,t-1}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\left[{\frac {p_{i,t-1}q_{i,t-1}}{\sum _{j=1}^{n}\left(p_{j,t-1}q_{j,t-1}\right)}}+{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{j=1}^{n}\left(p_{j,t}q_{j,t}\right)}}\right]}

Если нужны согласованные индексы количества и цен, их можно рассчитать непосредственно из этих уравнений, но чаще всего индекс цен рассчитывают путем деления общих расходов каждого периода на индекс количества, чтобы полученные индексы умножались на общие расходы. Этот подход называется косвенным способом расчета индекса Торнквиста. ^[4] и он генерирует числа, которые не совсем совпадают с прямым вычислением. Существует исследование того, какой метод использовать, отчасти исходя из того, являются ли изменения цен или изменения количества более волатильными. ^[4] Для расчета многофакторной производительности используется косвенный метод.

Индексы Торнквиста близки к значениям индекса Фишера . ^[4]^[5]^[6] Индекс Фишера на практике иногда предпочтительнее, поскольку он обрабатывает нулевые величины без особых исключений, тогда как в приведенных выше уравнениях нулевое количество может привести к сбою расчета индекса Торнквиста.

Теория

Индекс Торнквиста — это дискретная аппроксимация непрерывного индекса Дивизиа . Индекс Divisia — это теоретическая конструкция, взвешенная в непрерывном времени сумма темпов роста различных компонентов, где веса представляют собой доли компонентов в общей стоимости. Для индекса Торнквиста темпы роста определяются как разница натуральных логарифмов последовательных наблюдений компонентов (т.е. их логарифмическое изменение), а веса равны среднему значению факторных долей компонентов в соответствующей паре индексов. периоды (обычно годы). Индексы типа Divisia имеют преимущества перед взвешенными индексами постоянного базового года, поскольку при изменении относительных цен на факторы производства они включают изменения как в покупаемых количествах, так и в относительных ценах. Например, индекс Торнквиста, суммирующий затраты труда, может взвешивать темпы роста рабочего времени каждой группы работников по доле получаемой ими оплаты труда. ^[7]

Индекс Торнквиста является индексом превосходной степени , то есть он может аппроксимировать любую гладкую производства или функцию затрат . «Плавный» здесь означает, что небольшие изменения относительных цен на товар будут связаны с небольшими изменениями в его используемом количестве. Торнквист точно соответствует транслогарифмической производственной функции , что означает, что при изменении цен и оптимальной реакции количества уровень индекса изменится точно так же, как изменилось бы производство или полезность. Чтобы выразить эту мысль, Диверт (1978) использует формулировку, которую теперь признают другие экономисты: процедура индекса Торнквиста «точна» для транслогарифмической функции производства или полезности. ^[5] По этой причине термин транслогарифмический индекс иногда используется для обозначения индекса Торнквиста.

Индекс Торнквиста примерно «постоянен в агрегировании », что означает, что почти одинаковые значения индекса возникают в результате (а) объединения многих цен и количеств вместе или (б) объединения их подгрупп вместе с последующим объединением этих индексов. Для некоторых целей (например, крупных годовых агрегатов) это считается достаточно последовательным, а для других (например, ежемесячных изменений цен) — нет. ^[5]

История и использование

Теория индекса Торнквиста приписывается Лео Торнквисту (1936), возможно, работавшему с другими людьми в Банке Финляндии . ^[8]^[9]

Индексы Торнквиста используются в различных официальных статистических данных о ценах и производительности. ^[10]^[11]^[12]^[13]

США Периоды времени могут составлять годы, как в многофакторной статистике производительности, или месяцы, как в цепном ИПЦ . ^[12]

Ссылки

^ Глоссарий , ОЭСР
^ «Индекс Торнквиста и другие индексы журнальных изменений». Архивировано 24 декабря 2013 г. в Wayback Machine , Статистическое управление Новой Зеландии : Глоссарий общих терминов.
^ Глоссарий . Руководство МВФ по Индексу цен производителей стр. 610
^ Jump up to: ^а ^б ^с Аллен, Роберт С.; В. Эрвин Диверт. 1981. Формулы прямого и неявного превосходного индексного числа. Обзор экономики и статистики , 63:3 (август 1981 г.), 430–435. ( на jstor )
^ Jump up to: ^а ^б ^с Диверт, WE 1978. «Превосходные индексные числа и последовательность агрегирования», Econometrica , 46(4): 883-900.
^ Думаган, Хесус Кастанос. 2002. «Сравнение превосходных идеальных индексов Торнквиста и Фишера» , Economics Letters 76:2, 251-258.
^ Данные многофакторной производительности от Бюро статистики труда США.
^ Торнквист, Лео. 1936. «Индекс потребительских цен Банка Финляндии», Ежемесячный бюллетень Банка Финляндии 10, 1–8.
^ Торнквист, Лео. 1981. Сборник научных статей Лео Торнквиста. Научно-исследовательский институт финской экономики. Серия А. ISBN 978-951-9205-74-8
^ «BLS агрегирует исходные данные для своих многофакторных показателей производительности, используя цепной индекс Торнквиста». Бюро статистики труда США. «Показатели производительности: бизнес-сектор и основные подсекторы» , Справочник по методам BLS. 2019.
^ «Индекс Торнквиста как индекс истинной стоимости». Архивировано 15 июня 2010 г. в Wayback Machine , в «Индексах стоимости продуктов питания для домохозяйств с низкими доходами и населения в целом» , опубликованных Службой экономических исследований Министерства сельского хозяйства США, ТБ. -1872, стр.7
^ Jump up to: ^а ^б Роберт Кейдж, Джон Гринлис и Патрик Джекман. «Представляем цепной индекс потребительских цен» . Для презентации на 7-м заседании Международной рабочей группы по индексам цен, Париж, Франция, май 2003 г.
^ «Индекс Торнквиста используется при расчете многофакторной производительности». Методология. Архивировано 28 сентября 2011 г. в Комиссии по производительности правительства Австралии Wayback Machine , 2009 г. Проверено 11 августа 2011 г.

См. также

Список формул индекса цен

[1] Глоссарий , ОЭСР

[2] «Индекс Торнквиста и другие индексы журнальных изменений». Архивировано 24 декабря 2013 г. в Wayback Machine , Статистическое управление Новой Зеландии : Глоссарий общих терминов.

[3] Глоссарий . Руководство МВФ по Индексу цен производителей стр. 610

[AD81-4] Jump up to: ^а ^б ^с Аллен, Роберт С.; В. Эрвин Диверт. 1981. Формулы прямого и неявного превосходного индексного числа. Обзор экономики и статистики , 63:3 (август 1981 г.), 430–435. ( на jstor )

[diewert78-5] Jump up to: ^а ^б ^с Диверт, WE 1978. «Превосходные индексные числа и последовательность агрегирования», Econometrica , 46(4): 883-900.

[6] Думаган, Хесус Кастанос. 2002. «Сравнение превосходных идеальных индексов Торнквиста и Фишера» , Economics Letters 76:2, 251-258.

[7] Данные многофакторной производительности от Бюро статистики труда США.

[8] Торнквист, Лео. 1936. «Индекс потребительских цен Банка Финляндии», Ежемесячный бюллетень Банка Финляндии 10, 1–8.

[9] Торнквист, Лео. 1981. Сборник научных статей Лео Торнквиста. Научно-исследовательский институт финской экономики. Серия А. ISBN 978-951-9205-74-8

[10] «BLS агрегирует исходные данные для своих многофакторных показателей производительности, используя цепной индекс Торнквиста». Бюро статистики труда США. «Показатели производительности: бизнес-сектор и основные подсекторы» , Справочник по методам BLS. 2019.

[11] «Индекс Торнквиста как индекс истинной стоимости». Архивировано 15 июня 2010 г. в Wayback Machine , в «Индексах стоимости продуктов питания для домохозяйств с низкими доходами и населения в целом» , опубликованных Службой экономических исследований Министерства сельского хозяйства США, ТБ. -1872, стр.7

[cgj-12] Jump up to: ^а ^б Роберт Кейдж, Джон Гринлис и Патрик Джекман. «Представляем цепной индекс потребительских цен» . Для презентации на 7-м заседании Международной рабочей группы по индексам цен, Париж, Франция, май 2003 г.

[13] «Индекс Торнквиста используется при расчете многофакторной производительности». Методология. Архивировано 28 сентября 2011 г. в Комиссии по производительности правительства Австралии Wayback Machine , 2009 г. Проверено 11 августа 2011 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]