Уравнение КПП – Фишера

Не путать с уравнением Фишера в финансовой математике.

Численное моделирование уравнения Фишера – КПП. В цветах: решение u ( t , x ); точками: наклон, соответствующий теоретической скорости бегущей волны.

В математике ( уравнение КПП–Фишера имени Андрея Колмогорова , Ивана Петровского , Николая Пискунова и Рональд Фишер ), также известное как уравнение КПП , уравнение Фишера или уравнение Фишера-КПП, представляет собой уравнение в частных производных :

${\frac {\partial u}{\partial t}}-D{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=ru(1-u).\,$

Это своего рода система реакции-диффузии , которую можно использовать для моделирования роста населения и распространения волн.

Подробности

Уравнение КПП–Фишера относится к классу уравнений реакции-диффузии : по сути, это одно из простейших полулинейных уравнений реакции-диффузии, имеющее неоднородный член

$f(u,x,t)=ru(1-u),\,$

которые могут демонстрировать решения бегущей волны, которые переключаются между состояниями равновесия, заданными формулой $f(u)=0$. Такие уравнения встречаются, например, в экологии , физиологии , горении , кристаллизации , физике плазмы и в общих фазового перехода задачах .

Фишер предложил это уравнение в своей статье 1937 года « Волна продвижения выгодных генов в контексте динамики популяции» для описания пространственного распространения выгодного аллеля и исследовал решения для его бегущей волны. Для каждой скорости волны $c\geq 2{\sqrt {rD}}$ ( $c\geq 2$ в безразмерной форме) допускает решения в виде бегущей волны вида

$u(x,t)=v(x\pm ct)\equiv v(z),\,$

где $\textstyle v$ увеличивается и

$\lim _{z\rightarrow -\infty }v\left(z\right)=0,\quad \lim _{z\rightarrow \infty }v\left(z\right)=1.$

То есть решение переключается из состояния равновесия u = 0 в состояние равновесия u < 2 такого решения не существует = 1. При c . Форма волны для данной скорости волны уникальна. Решения на основе бегущей волны устойчивы к возмущениям в ближнем поле, но не к возмущениям в дальнем поле, которые могут утолщать хвост. Используя принцип сравнения и теорию суперрешений, можно доказать, что все решения с компактными начальными данными сходятся к волнам с минимальной скоростью.

Для особой скорости волны $c=\pm 5/{\sqrt {6}}$, все решения можно найти в замкнутом виде, с

$v(z)=\left(1+C\mathrm {exp} \left(\mp {z}/{\sqrt {6}}\right)\right)^{-2}$

где $C$ произвольно, и указанные выше предельные условия выполняются для $C>0$.

Доказательство существования решений бегущей волны и анализ их свойств часто проводится методом фазового пространства .

уравнение КПП

В том же году (1937) как Фишер, Колмогоров, Петровский и Пискунов ввел более общее уравнение реакции-диффузии

${\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=F(u)$

где $F$ — достаточно гладкая функция со свойствами, которые $F(0)=F(1)=0,F'(0)=r>0$ и $F(v)>0,F'(v)<r$ для всех $0<v<1$. Это также имеет решения с бегущей волной, обсуждавшиеся выше. Уравнение Фишера получается при задании $F(u)=ru(1-u)$ и изменение масштаба $x$ координировать с коэффициентом ${\sqrt {D}}$. Более общий пример дает $F(u)=ru(1-u^{q})$ с $q>0$. Колмогоров, Петровский и Пискунов. обсудили пример с $q=2$ в контексте популяционной генетики .

Минимальная скорость бегущей волны типа КПП определяется выражением

$2{\sqrt {\left.{\frac {dF}{du}}\right|_{u=0}}}$

который отличается от других типов волн, см., например, волны типа ZFK .

См. также

• уравнение ЗФК
• Уравнение Аллена – Кана

Внешние ссылки

• Уравнение Фишера на MathWorld .
• Уравнение Фишера на EqWorld.