Теорема Минковского – Главки

В математике теорема Минковского -Хлавки является результатом решетчатой упаковки гиперсфер > 1. Она утверждает , размерности n существует решетка что в евклидовом пространстве размерности n , такая, что соответствующая наилучшая упаковка гиперсфер с центрами в решетке точек имеет плотность Δ, удовлетворяющую

\Delta \geq {\frac {\zeta (n)}{2^{n-1}}},

с ζ дзета-функция Римана . Здесь при n → ∞ ζ( n ) → 1. Доказательство этой теоремы косвенное и не дает, однако, явного примера, и до сих пор не известен простой и явный способ построения решеток с плотностями упаковки, превышающими эту оценку для произвольный н . В принципе, можно найти явные примеры: например, даже простой выбор нескольких «случайных» решеток сработает с высокой вероятностью. Проблема в том, что проверка этих решеток на предмет того, являются ли они решениями, требует нахождения их кратчайших векторов, а количество проверяемых случаев очень быстро растет с увеличением размерности, поэтому это может занять очень много времени.

Этот результат был сформулирован без доказательства Германом Минковским ( 1911 , стр. 265–276) и доказан Эдмундом Главкой ( 1943 ). Результат связан с линейной нижней оценкой Эрмита постоянной .

Теорема Зигеля

Сигел (1945) доказал следующее обобщение теоремы Минковского – Главки. Если S — ограниченное множество в R ^н с жордановым объемом vol( S ), то среднее количество ненулевых векторов решетки в S равно vol( S )/ D , где среднее значение берется по всем решеткам с фундаментальной областью объема D , и аналогично среднее количество примитивных векторов решетки в S есть vol( S )/ D ζ( n ).

Из этого легко следует теорема Минковского-Хлавки, используя тот факт, что если S - звездообразное центрально-симметричное тело (например, шар), содержащее менее двух примитивных векторов решетки, то оно не содержит ненулевых векторов решетки.

См. также

Гипотеза Кеплера

Ссылки

Конвей, Джон Х .; Нил Дж. А. Слоан (1999). Сферические упаковки, решетки и группы (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9 .
Главка, Эдмунд (1943), «О геометрии чисел», Math. Z. , 49 : 285–312, doi : 10.1007/BF01174201 , MR 0009782.
Минковский (1911), Сборник статей , т. 1, Лейпциг: Тойбнер
Сигел, Карл Людвиг (1945), «Теорема о среднем значении в геометрии чисел» (PDF) , Ann. математики. , 2, 46 (2): 340–347, doi : 10.2307/1969027 , JSTOR 1969027 , MR 0012093 , S2CID 124272126 , заархивировано из оригинала (PDF) 26 февраля 2020 г.