Собственность Серра FA

В математике впервые свойство FA — это свойство групп, определенное Жаном-Пьером Серром .

группа G Говорят, что обладает свойством FA, если каждое действие группы G на дереве имеет глобальную неподвижную точку .

Серр показывает, что если группа обладает свойством FA, то ее нельзя разделить на объединенный продукт или расширение HNN ; действительно, если G содержится в объединенном продукте, то он содержится в одном из факторов. В частности, конечно порожденная группа со свойством FA имеет конечную абелианизацию .

Свойство FA эквивалентно для счетного G трем свойствам: G не является объединенным произведением; G не имеет Z в качестве факторгруппы ; G порождена конечно . Для общих групп G третье условие можно заменить требованием, чтобы G не была объединением строго возрастающей последовательности подгрупп.

Примеры групп со свойством FA включают SL ₃ ( Z ) и, в более общем смысле, G ( Z ), где G — односвязная простая группа Шевалле ранга не менее 2. Группа SL ₂ ( Z ) является исключением, поскольку она изоморфна. к объединенному произведению циклических групп C ₄ и C ₆ вдоль C ₂ .

Любая факторгруппа группы со свойством FA обладает свойством FA. Если некоторая подгруппа конечного индекса в G обладает свойством FA, то и G обладает свойством , но обратное, вообще говоря, неверно. Если N — нормальная подгруппа группы G и и N , и G / N тоже обладают свойством FA, то и G .

По теореме Вататани свойство Каждана (T) влечет за собой свойство FA, но не наоборот. Действительно, любая подгруппа конечного индекса в T-группе обладает свойством FA.

Примеры

Следующие группы обладают свойством FA:

• Конечно порожденная периодическая группа;
• СЛ ₃ ( З );
• Группа Шварц $\left\langle {a,b:a^{A}=b^{B}=(ab)^{C}=1}\right\rangle$ для целых чисел A , B , C ≥ 2;
• SL ₂ ( R ), где R — кольцо целых чисел поля алгебраических чисел , которое не является Q или мнимым квадратичным полем .

Следующие группы не имеют свойства FA:

• СЛ ₂ ( З );
• SL ₂ ( RD _. ), где RD _— кольцо целых чисел мнимого квадратичного поля дискриминанта, отличного от −3 или −4

Ссылки

• Серр, Жан-Пьер (1974). «Исправления Amalgames и очков». Материалы второй международной конференции по теории групп . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Том. 372. стр. 633–640. МР   0376882 . Збл   0308.20026 .
• Серр, Жан-Пьер (1977). Деревья, амальгамы, СЛ ₂ . Звездочка (на французском языке). Полет. 46. ​​Французское математическое общество. Збл   0369.20013 . Английский перевод: Серр, Жан-Пьер (2003). Деревья . Спрингер. ISBN  3-540-44237-5 . Збл   1013.20001 .
• Вататани, Ясуо (1981). «Свойство Т Каждана подразумевает свойство Ф.А. Серра». Математика. Япония . 27 : 97–103. МР   0649023 . Збл   0489.20022 .