Теория карманного набора

Теория карманных множеств ( PST ) — альтернативная теория множеств , в которой есть только два бесконечных кардинальных числа : ℵ ₀ ( алеф-ноль , мощность множества всех натуральных чисел) и c ( мощность континуума ). Теория была впервые предложена Руди Ракером в его книге «Бесконечность и разум» . Подробности, изложенные в этой статье, принадлежат американскому математику Рэндаллу М. Холмсу.

Аргументы в поддержку PST

Есть по крайней мере два независимых аргумента в пользу теории малых множеств, такой как PST .

1. Из математической практики вне теории множеств может сложиться впечатление, что существует только два бесконечных кардинала, которые явно используются «в классической математической практике вне теории множеств» (мощность натуральных чисел и мощность континуума), и, следовательно, что «Теория множеств создает гораздо больше надстроек, чем необходимо для поддержки классической математики». Хотя это может быть преувеличением (можно попасть в ситуацию, когда придется говорить о произвольных наборах действительных чисел или действительных функций), с помощью некоторых технических уловок значительная часть математики может быть реконструирована в рамках PST ; конечно, достаточно для большинства его практических применений.
2. Второй аргумент вытекает из фундаментальных соображений. Большая часть математики может быть реализована в стандартной теории множеств или в одной из ее крупных альтернатив. С другой стороны, теории множеств вводятся в терминах логической системы; в большинстве случаев это логика первого порядка . С другой стороны, синтаксис и семантика логики первого порядка построены на теоретико-множественных основаниях. как можно более слабую теорию Таким образом, существует фундаментальная цикличность, которая заставляет нас выбирать для начальной загрузки . Этот ход мыслей снова приводит к теориям малых множеств.

Таким образом, есть основания думать, что бесконечная иерархия бесконечностей Кантора является излишней. Теория карманных множеств — это «минималистическая» теория множеств, допускающая только две бесконечности: мощность $\scriptstyle {\aleph _{0}}$ (стандартных) натуральных чисел и мощности $\scriptstyle {2^{\aleph _{0}}}$ (стандартных) реалов.

Теория

PST использует стандартный язык первого порядка с идентификатором и символом двоичного отношения. $\scriptstyle {\in }$. Обычные переменные обозначаются заглавными буквами X , Y и т. д. В предполагаемой интерпретации эти переменные обозначают классы , а атомарная формула $\scriptstyle {X\in Y}$ означает «класс X является элементом класса Y ». Множество — это класс, который является элементом класса. Переменные малого регистра x , y и т. д. обозначают множества. — Правильный класс это класс, который не является множеством. Два класса равнозначны тогда и только тогда, когда между ними существует биекция . Класс бесконечен тогда и только тогда, когда он равнозначен одному из своих собственных подклассов. Аксиомы PST:

(A1) ( экстенсиональность ) — Классы, имеющие одинаковые элементы, одинаковы.

$\forall z\,(z\in X\leftrightarrow z\in Y)\rightarrow X=Y$

(A2) ( понимание классов ) — Если $\scriptstyle {\phi (x)}$ является формулой, то существует класс, элементами которого являются именно те множества x , которые удовлетворяют $\scriptstyle {\phi (x)}$.

$\exists Y\forall x\,(x\in Y\leftrightarrow \phi (x))$

(A3) ( аксиома бесконечности ) — Существует бесконечное множество, и все бесконечные множества равночисленны.

$\exists x\,(\mathrm {inf} (x)\land \forall y\,(\mathrm {inf} (y)\rightarrow x\approx y))$

(inf( x ) означает « x бесконечен»; $\scriptstyle {x\approx y}$ сокращает, что x равнозначен y .)

(A4) ( ограничение размера ) – Класс является собственным классом тогда и только тогда, когда он равнозначен всем собственным классам.

$\forall X\forall Y\,((\mathrm {pr} (X)\land \mathrm {pr} (Y))\leftrightarrow (\mathrm {pr} (X)\land X\approx Y))$

(pr( X ) означает « X — собственный класс».)

Замечания по поводу аксиом

• Хотя для классов и наборов используются разные типы переменных, язык не является многосортным; множества идентифицируются с классами, имеющими то же расширение. Переменные малого регистра используются как простые сокращения для различных контекстов; например,

$\forall x\,\phi (x)\Leftrightarrow _{\mathrm {def} }\forall X\,(\mathrm {set} (X)\rightarrow \phi (X))$

• Поскольку количественная оценка в A2 варьируется по классам, т.е. $\scriptstyle {\phi (x)}$ не привязано к множеству, A2 является схемой понимания теории множеств Морса–Келли , а не теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя . Эта дополнительная сила A2 используется при определении порядковых чисел (здесь не представлено).
• не существует Поскольку аксиомы спаривания , необходимо доказать, что для любых двух множеств x и y пара Куратовского {{ x }, { x , y }} существует и является множеством. Следовательно, доказательство существования взаимно однозначного соответствия между двумя классами не доказывает, что они равночисленны.
• Теория карманных множеств аналогична арифметике третьего порядка, в которой множества и классы соответствуют подмножествам натуральных чисел и подмножествам степеней натуральных чисел.
• Модель теории карманных множеств задается путем принятия множеств теории карманных множеств в качестве конструктивных элементов HC (множества наследственно счетных множеств), а классов в качестве конструктивных подмножеств HC .

Некоторые

1. Класс Рассела $\scriptstyle {\mathrm {R} }$ это правильный класс. ( $\scriptstyle {\mathrm {R} =_{\mathrm {def} }\{x\,|\,x\notin x\}}$)

Доказательство . $\scriptstyle {\mathrm {R} }$ не может быть задано парадоксом Рассела . ∎

2. Пустой класс $\scriptstyle {\emptyset }$ это набор. ( $\scriptstyle {\emptyset =_{\mathrm {def} }\{x\,|\,x\neq x\}}$)

Доказательство . Предположим ( в сторону противоречия ), что $\scriptstyle {\emptyset }$ это правильный класс. По (А4), $\scriptstyle {\emptyset }$ должен быть равнозначен $\scriptstyle {\mathrm {R} }$, в этом случае $\scriptstyle {\mathrm {R} }$ пусто. Пусть я — бесконечное множество и рассмотрим класс $\scriptstyle {\{i\}}$. Это не равнозначно $\scriptstyle {\emptyset }$, таким образом, это набор. Оно конечно, но его единственный элемент бесконечен, поэтому он не может быть элементом самого себя. Следовательно, это элемент $\scriptstyle {\mathrm {R} }$. Это противоречит тому, что $\scriptstyle {\mathrm {R} }$ пусто. ∎

3. Класс-одиночка $\scriptstyle {\{\emptyset \}}$ это набор.

Доказательство . Предположим, что $\scriptstyle {\{\emptyset \}}$ это правильный класс. Тогда согласно (А4) каждый собственный класс является одноэлементным. Пусть я бесконечное множество и рассмотрим класс $\scriptstyle {\{\emptyset ,i\}}$. Он не является ни собственным классом (поскольку он не является одноэлементным), ни элементом самого себя (поскольку он не пуст и не бесконечен). Таким образом $\scriptstyle {\{\emptyset ,i\}\in R}$ выполняется по определению, поэтому $\scriptstyle {\mathrm {R} }$ имеет как минимум два элемента, $\scriptstyle {\emptyset }$ и $\scriptstyle {\{\emptyset ,i\}}$. Это противоречит исходному предположению, что собственные классы являются одиночными. ∎

4. $\scriptstyle {\mathrm {R} }$ бесконечен.

Доказательство . Позволять $\scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}=_{\mathrm {def} }\mathrm {R} \setminus \{\emptyset \}}$. Предположим, что этот класс является множеством. Тогда либо $\scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}\in \mathrm {R} ^{-}}$ или $\scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}\notin \mathrm {R} ^{-}}$. В первом случае определение $\scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}}$ подразумевает, что $\scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}\in \mathrm {R} }$, откуда следует, что $\scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}\notin \mathrm {R} ^{-}}$, противоречие. Во втором случае определение $\scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}}$ подразумевает либо $\scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}\notin \mathrm {R} }$ и, следовательно, $\scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}\in \mathrm {R} ^{-}}$, противоречие или $\scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}=\emptyset }$. Но $\scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}}$ не может быть пустым, поскольку имеет хотя бы один элемент, а именно $\scriptstyle {\{\emptyset \}}$. ∎

5. Каждый конечный класс является множеством.

Доказательство . Пусть X — собственный класс. Согласно (А4) существует $\scriptstyle {F:X\longrightarrow \mathrm {R} }$ такая, что F является биекцией. Здесь содержится пара $\scriptstyle {\langle x_{0},\emptyset \rangle }$, и для каждого члена r из $\scriptstyle {\mathrm {R} ^{-}}$ , пара $\scriptstyle {\langle x,r\rangle }$. Позволять $\scriptstyle {X^{-}=X\setminus \lbrace x_{0}\rbrace }$ и $\scriptstyle {F^{-}=F\setminus \lbrace \langle x_{0},\emptyset \rangle \rbrace }$. Согласно (А4) оба этих класса существуют. Сейчас, $\scriptstyle {F^{-}:X^{-}\longrightarrow \mathrm {R} ^{-}}$ является биекцией. Таким образом, согласно (А4), $\scriptstyle {X^{-}}$ это тоже правильный класс. Четко, $\scriptstyle {X^{-}\subseteq X}$ и $\scriptstyle {X^{-}\neq X}$. Теперь другое применение (А4) показывает, что существует биекция $\scriptstyle {G:X\longrightarrow X^{-}}$. Это доказывает, что X бесконечно. ∎

После установления вышеуказанных фактов можно доказать следующие результаты:

6. Класс V множеств ( $\scriptstyle {\mathrm {V} =_{\mathrm {def} }\{x\,|\mathrm {set} (x)\}}$) состоит из всех наследственно счетных множеств.

7. Каждый собственный класс имеет мощность ${\mathfrak {c}}$.

Доказательство . Пусть я — бесконечное множество, и в этом случае класс $\scriptstyle {{\mathcal {P}}(i)}$ имеет мощность $\scriptstyle {2^{\aleph _{0}}}$. Согласно (А4) все собственные классы имеют мощность $\scriptstyle {2^{\aleph _{0}}}$. ∎

8. Объединительный класс множества — это множество.

PST также проверяет:

• Гипотеза континуума . Это следует из (5) и (6) выше;
• Аксиома замены . Это следствие (А4);
• Аксиома выбора . Доказательство . Класс Ord всех ординалов упорядочен по определению. Орд и класс V всех множеств являются собственными классами из-за парадокса Бурали-Форти и парадокса Кантора соответственно. существует биекция между V и Ord , которая хорошо упорядочивает V. Следовательно , ∎

Обоснованность в всех наборов не является ни доказуемой, ни опровергаемой PST .

Возможные расширения

• так называемую аксиому свободной конструкции Добавив к PST , любая непротиворечивая система теоретико-множественных аксиом будет иметь внутреннюю модель в результирующей системе.
• является Недружественной особенностью PST то, что он не может обрабатывать классы наборов действительных чисел или классы наборов действительных функций. Однако это не обязательно. (A3) можно модифицировать различными способами, чтобы учесть различные части обычной иерархии бесконечностей, с поддержкой или без поддержки гипотезы континуума. Одним из примеров является

$\exists x\exists y\,(\mathrm {inf} (x)\land \mathrm {inf} (y)\land |{\mathcal {P}}(x)|\neq |{\mathcal {P}}(y)|\land \forall z(\mathrm {inf} (z)\rightarrow (|z|=|x|\lor |z|=|y|)))$

В этой версии мощность бесконечного множества равна либо $\aleph _{0}$ или $2^{\aleph _{0}}$, а мощность собственного класса равна $2^{2^{\aleph _{0}}}$ (что означает, что справедлива гипотеза обобщенного континуума).

См. также

• Большой кардинал

Внешние ссылки

• Холмс, М. Рэндалл (2 августа 2017 г.), Теория карманного набора: скромное предложение (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 10 июля 2020 г.